放物運動の公式と計算例：平地、崖、水平投射

球を地面から速さ20 m/s、水平から30度の角度で投げると、約35 m先に落ちます。同じ球を同じように高さ15 mの崖から投げると、約53 m先です。崖の問題でも35 mと答える人が多いのは、水平到達距離の近道の公式の条件を確認していないからです。放物運動の式自体は難しくありません。目の前の投射に使える式を見極めることが本当の技能です。

このガイドでは、符号の取り決めを定め、式と使用条件を表にまとめ、同じ投射を平地と崖から行う場合を計算します。さらに机からの水平投射も扱います。すべての計算で $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$ を使い、空気抵抗は無視します。

投射を2つの運動に分ける

まず図を描きます。投射点、地面、初速度 $v_0$ を示す、水平から角度 $\theta$ の矢印を記しましょう。投射点を原点とし、上向きを正、前向きを正に取ります。初速度を成分に分けます。

$$v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.$$

ここからは、同じ時間を共有する2つの一次元問題です。球を放したあとは、水平方向へ押す力はないので $a_x=0$、$v_x$ は $v_{0x}$ のままです。鉛直方向には、重力による一定の加速度 $a_y=-g$ があります。OpenStaxの放物運動の節も、空気抵抗がないときの直交する2方向の運動の独立性を土台としています。AP Physics 1の課程も簡潔に同じことを示します。放物運動は二次元で、一方向の加速度はゼロ、もう一方向ではゼロではない一定の加速度です（College BoardのAP Physics 1課程・試験概要、トピック1.5）。

軸を分けて考えるのが難しい場合は、運動学のガイドで各方向に使う一次元の等加速度運動を復習できます。

この場合に使える式はどれか？

このモデルでは、どの放物運動も4つの式で表せます。さらに、そこから導かれる近道の式が3つありますが、それぞれ忘れやすい条件があります。

OpenStaxも2つの制限を明示しています。滞空時間の近道の式は別の高さへ着地する場合には使えず、水平到達距離の式は投射と着地が同じ高さの水平面で起こる場合に限られます。最高点の高さの式は、鉛直速度が $v_y=0$ になる頂点までしか使わないため、崖からでも有効です。これは投射点から何メートル上がるかを表し、下の地面からの高さではありません。

最初の2行から $t$ を消去すると、放物線の軌道の式になります。

$$y=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}.$$

後の崖の計算例で、独立した確認として使います。

例1：平地から20 m/s、30度で投げる

まず成分を求めます。$v_{0x}=20\cos 30^\circ=17.32\ \mathrm{m/s}$、$v_{0y}=20\sin 30^\circ=10.0\ \mathrm{m/s}$ です。

滞空時間。 着地点は投射点と同じ高さなので、近道の式を使えます。

$$T=\frac{2(10.0)}{9.81}=2.04\ \mathrm{s}.$$

別の方法でも確認しましょう。$v_y=0$ になる最高点までの時間は $t=10.0/9.81=1.02\ \mathrm{s}$ です。平地では下降に同じ時間がかかるので、合計は2倍の2.04 sです。

最高点の高さ。

$$H=\frac{(10.0)^2}{2(9.81)}=5.10\ \mathrm{m}.$$

最高点までの時間を高さの式に代入して確認すると、$y=10.0(1.02)-4.905(1.02)^2=5.10\ \mathrm{m}$ です。

水平到達距離。

$$R=\frac{(20)^2\sin 60^\circ}{9.81}=35.3\ \mathrm{m}.$$

近道の式を使わずにも、$x=v_{0x}T=17.32\times 2.04=35.3\ \mathrm{m}$ と確認できます。次へ進む前に、2つの方法が同じ答えになるか確かめるとよいでしょう。Physics ZenのAP Physics 1演習のように、授業で $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$ を使っても、結果が変わるのは3桁目だけです。2.04 s、5.10 m、35.3 mは同じ値に丸められます。

例2：同じ投射を高さ15 mの崖から行う

今度は同じ速さ20 m/s、角度30度で、平らな地面から15 m高い崖の縁から投げます。投射点を原点に取ると、着地点は $y=-15\ \mathrm{m}$ です。球はより低い場所へ落ちるので、水平到達距離の近道の式は使えません。鉛直方向の一般的な位置の式を使います。

$$-15=10.0\,t-4.905\,t^2.$$

整理すると $4.905t^2-10.0t-15=0$ です。解の公式から、

$$t=\frac{10.0\pm\sqrt{(10.0)^2+4(4.905)(15)}}{2(4.905)}=\frac{10.0\pm 19.86}{9.81},$$

よって $t=3.04\ \mathrm{s}$ または $t=-1.00\ \mathrm{s}$ となります。負の解は、同じ放物線をたどる球が投射より前の時刻に、上昇中に下の地面の高さを通ったことに相当します。代数的には有効ですが、この問題の物理的な時間としては使えないので除きます。正の解を代入して確かめると、$10.0(3.044)-4.905(3.044)^2=-15.0$ です。正しい解の選択は、実は数学のミスである物理の間違いでも扱っています。

崖からの水平到達距離。

$$x=17.32\times 3.044=52.7\ \mathrm{m}.$$

軌道の式でも2つ目の確認ができます。$x=52.7\ \mathrm{m}$ のとき、$y=52.7\tan 30^\circ-\dfrac{9.81(52.7)^2}{2(20)^2\cos^2 30^\circ}=30.4-45.4=-15.0\ \mathrm{m}$ です。球はちょうど下の地面の高さにあります。

近道の式を使うと生じる誤り。 ここで $R=v_0^2\sin 2\theta/g$ を使うと、平地の答えである35.3 mになります。実際の水平到達距離は52.7 mです。近道では17.4 m、実際の距離の約33パーセント短くなり、式自体は警告してくれません。最高点は依然として投射点から5.10 m上、つまり下の地面から20.1 mの高さです。

着地時の速度。 着地では $v_y=10.0-9.81(3.044)=-19.86\ \mathrm{m/s}$、$v_x$ は17.32 m/sのままです。したがって、

$$v=\sqrt{17.32^2+19.86^2}=26.3\ \mathrm{m/s},$$

向きは水平から下へ $\arctan(19.86/17.32)=48.9^\circ$ です。エネルギーからも独立に速さを確認できます。$v=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{20^2+2(9.81)(15)}=26.3\ \mathrm{m/s}$ です。その理由は仕事とエネルギーのガイドで説明しています。

45度が最適な角度のままか？ 崖からでは違います。速さ20 m/s、高さの差15 mを固定し、いくつかの角度で同じ二次方程式を解きます。

この角度の中では37度が最も遠く、45度では30度より短くなります。高い位置から始めると、すでに滞空時間が増えるため、より水平方向に近く、その方向の速度が大きい投射が有利です。

例3：机から落ちる球

高さ0.90 mの机から球が3.0 m/sで水平に飛び出します。ここでは $\theta=0$ なので、$v_{0x}=3.0\ \mathrm{m/s}$、$v_{0y}=0$ です。ここでも着地点と投射点の高さが異なるため、一般的な式だけを使えます。

落下時間。 $v_{0y}=0$ なので、高さの式は $-0.90=-4.905t^2$ となります。

$$t=\sqrt{\frac{2(0.90)}{9.81}}=0.428\ \mathrm{s}.$$

机の縁から球を鉛直に落とした場合と同じ落下時間です。水平速度は落下を遅らせません。

着地点。 机の根元から $x=3.0\times 0.428=1.29\ \mathrm{m}$ の位置です。LibreTextsの放物運動のページも、高さのある場所からの水平投射に落下時間 $\sqrt{2H/g}$ を使っています。

着地時の速さと角度。 $v_y=-9.81(0.428)=-4.20\ \mathrm{m/s}$ なので、

$$v=\sqrt{3.0^2+4.20^2}=5.16\ \mathrm{m/s},\qquad \alpha=\arctan\frac{4.20}{3.0}=54.5^\circ$$

です。向きは水平から下へ54.5度です。エネルギーからも、$\sqrt{3.0^2+2(9.81)(0.90)}=5.16\ \mathrm{m/s}$ となり一致します。

答え付きの練習問題を2つ

1. 平地。 球を平地から15 m/s、水平から60度で投げます。滞空時間、最高点、水平到達距離を求めてください。答えは $v_{0y}=13.0\ \mathrm{m/s}$、$T=2.65\ \mathrm{s}$、$H=8.60\ \mathrm{m}$、$R=19.9\ \mathrm{m}$ です。3つの近道の式すべてを使えます。$v_{0x}T=7.5\times 2.65$ から水平到達距離を確かめましょう。

2. 水平投射。 水面から20 m高い崖から石を12 m/sで水平に投げます。空中にいる時間、落ちる地点までの距離、着水時の速さを求めてください。答えは $t=\sqrt{2(20)/9.81}=2.02\ \mathrm{s}$、$x=24.2\ \mathrm{m}$、$v=\sqrt{12^2+2(9.81)(20)}=23.2\ \mathrm{m/s}$ で、向きは水平から下へ $58.8^\circ$ です。同じ高さへ着地する場合の近道の式は使えません。

2方向に分ける方法を自然にできるまで練習する

放物運動は主要な課程の早い段階で登場します。AP Physics 1では第1単元に含まれ、AP Physics 1のガイドでは学習計画の中で運動学がどこに当たるかを示します。試験が変わっても上の方法は同じで、$g$ と数値だけが変わります。

Physics Zenの運動学のトピックはiPhoneとAndroidで最初から最後まで無料です。放物運動のスキルでは、速さ、角度、高さが毎回変わる問題を解き、すぐに採点と解説を確認できます。いくつか解いてみて、毎回表の問いを自分に投げかけましょう。この球は投射点と同じ高さへ落ちるか。違うなら近道の式を使わず、時間を解いてください。