弦と管の定常波：節と腹から解く計算例

定常波には動かない部分があります。節の位置は固定されていますが、節と節の間の弦や空気は動き続けます。振動数の問題では、まず両端に注目してください。端の条件が収まる波形を決め、波の速さから許される波長を振動数へ変換します。

ここでは三つの計算例を解き、波形のスケッチ、単位、次に許される振動モードで答えを確認します。理想的な弦と気柱を扱います。実際の楽器の開口端、温度変化、減衰にはさらに注意が必要なので、最後に単純な式の適用限界を示します。

進行波が定常波の模様になる

弦を進む波は端で反射します。同じ振動数の入射波と反射波が重なると、場所によって変位が強め合ったり打ち消し合ったりします。節では変位が常にゼロで、腹ではそのモードの変位が最大になります。波形全体が一つの山として左から右へ一定に進むわけではありません。ただし、実際に外力で振動させる系ではエネルギーの供給と損失があります。

OpenStaxの定常波の章は端の条件から許されるモードを導いています。大切なのは式を先に暗記することではありません。それぞれの端で媒質がどう動けるかを描き、その間に波長の何分の一が入るかを数えます。

振動数、波長、波の速さには引き続き

$$v=f\lambda.$$

が成り立ちます。ここで $v$ は媒質中を進む進行波の速さ、$f$ は1秒あたりの周期数、$\lambda$ は1周期あたりの長さをmで表します。定常波はこのような二つの波から生じるので、この関係は変わりません。単振動のガイドのばねについた一つの質点とは違います。弦上の一点は近似的に単振動しても、弦には多数の点と多数の可能なモードの形があります。

両端固定の弦：両端が節

両端を固く結んだ弦は、結び目で動けません。両端に変位の節を描きます。最も短い波形は両端の間に一つのふくらみを持ち、長さ $L$ に半波長が収まります。高いモードになるごとに半波長を一つ足します。

$$L=n\frac{\lambda_n}{2},\qquad \lambda_n=\frac{2L}{n},\qquad f_n=\frac{nv}{2L},\quad n=1,2,3,\ldots$$

最初のモードが基本振動で、$f_1=v/(2L)$ です。次は $2f_1$ で、弦の内部に節が一つ増えます。三番目は $3f_1$ です。これらを高調波と呼ぶ前に、両端が本当に固定されているか確かめてください。自由端なら変位の境界条件が異なります。

理想的に張った弦の波の速さは、張力 $T$ と線密度 $\mu$ によって決まります。

$$v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.$$

張力はN、$\mu$ はkg/mで指定します。平方根の単位はm/sになります。このモデルは、曲がりやすい弦、ほぼ一定の張力、小さな横方向の変位を仮定します。太く硬い実際の弦を強く振動させたときまで、理想的な高調波に厳密に従うという主張ではありません。

計算例1：張力がわかっている弦

長さ1.20 mの弦の張力は $48\ \mathrm{N}$、線密度は $0.012\ \mathrm{kg/m}$ です。最初と三番目に許される振動数を求めます。まず波の速さです。

$$v=\sqrt{48/0.012}=\sqrt{4000}\approx63.25\ \mathrm{m/s}.$$

次に $f_1=63.25/(2\times1.20)\approx26.4\ \mathrm{Hz}$、$f_3=3f_1\approx79.1\ \mathrm{Hz}$ です。三番目のモードでは $\lambda_3=2(1.20)/3=0.80\ \mathrm{m}$。確認すると $v/\lambda_3=63.25/0.80\approx79.1\ \mathrm{Hz}$。スケッチには両端の節に加えて内部の節が二つ必要です。基本振動の2倍という答えなら、それは三番目ではなく二番目のモードです。

張力を変えると $v$ が変わり、すべてのモードの振動数も変わります。張力を2倍にしても振動数は2倍になりません。平方根の式により倍率は $\sqrt{2}$ です。速さを固定したまま弦の長さを変えると効果は別で、振動数は $L$ に反比例します。二つの弦を比べる前に、何を一定にするか明記しましょう。

管の端：変位と圧力のどちらを描くか

管の中の音は縦波です。空気は管に沿って前後に動き、圧力は増減します。「節」という語は、どの量を描くかを言わないと曖昧です。ほぼ閉じた端では空気の変位が制限され、変位の節、圧力の腹になります。ほぼ開いた端では空気がより自由に動き、圧力は大気圧に近いので、変位の腹、圧力の節になります。

テネシー大学の気柱の解説は圧力と変位の境界条件を明確に対比します。二列は互いに逆です。閉端を圧力の節と書いて変位の式を使う図は、モデルを混ぜています。OpenStaxの音波のモードは変位を使って許される管の波形を示します。計算前にスケッチの上へ「空気の変位」と書き、節と腹を置きましょう。下に圧力の節と腹を加えれば再確認にもなります。

両端が開いた管では、変位の腹が両端にあります。最も単純な波形では $L$ に半波長が入ります。波長の数え方は両端固定の弦と同じですが、端が節ではなく腹です。理想的な両端開放管では $f_n=nv/(2L)$ が成り立ち、$n=1,2,3,\ldots$ です。両端が閉じた管も端の条件が対称で、変位の節が両端にあるため、単純なモデルでは同じ振動数の列になります。

計算例2：両端が開いた管

両端が開いた長さ0.85 mの理想的な管を考え、この問題では音速を $340\ \mathrm{m/s}$ と仮定します。基本振動では半波長が入るので $\lambda_1=2L=1.70\ \mathrm{m}$。振動数は $f_1=340/1.70=200\ \mathrm{Hz}$ です。次に許されるモードは $f_2=400\ \mathrm{Hz}$ で、$\lambda_2=0.85\ \mathrm{m}$ です。

計算を信じる前に形を確認します。開いた両端は変位の腹で、二番目のモードでは管の中に半波長がもう一つ入ります。単位もm/sをmで割ると1/s、つまりHzです。仮定した340 m/sは問題で与えた値であり、どんな条件にも通用する音速ではありません。温度や媒質が変われば音速も変わります。

一端を閉じた管では奇数次の高調波だけ

一方の端を閉じ、もう一方を開けます。変位は片端で節、もう片端で腹にならなければなりません。最も短い波形では $L$ に4分の1波長が入るので、$\lambda_1=4L$、$f_1=v/(4L)$ です。次に両端の条件を満たす波形では4分の3波長、その次では4分の5波長が入ります。

$$L=(2k-1)\frac{\lambda_k}{4},\qquad f_k=(2k-1)\frac{v}{4L},\quad k=1,2,3,\ldots$$

振動数は $f_1,3f_1,5f_1,\ldots$ です。「奇数次高調波だけ」は、この理想的な端の条件を表します。二番目に許されるモードは第二高調波ではなく第三高調波です。この区別を知れば、一端閉鎖管の二番目の共鳴を $2f_1$ と誤答せずに済みます。問題が「第二共鳴」と言えば、この理想モデルでは $3f_1$ を使います。

計算例3：一端を閉じた管

長さ0.50 mの一端閉鎖管を使い、問題の指定値を $v=340\ \mathrm{m/s}$ とします。最初の共鳴では $\lambda_1=4(0.50)=2.0\ \mathrm{m}$ なので、$f_1=340/2.0=170\ \mathrm{Hz}$ です。二番目に許される共鳴は $3f_1=510\ \mathrm{Hz}$ で、$\lambda=340/510\approx0.667\ \mathrm{m}$。この波長の4分の3は約0.50 mで管に収まります。一方、$2f_1=340\ \mathrm{Hz}$ は、端の条件の一方を満たせない変位の波形を必要とします。

**境界条件の確認：**閉端は変位の節かつ圧力の腹、開端は変位の腹かつ圧力の節です。次に単位、奇数次の番号付け、$v=f\lambda$ を確認します。答えを採用する前に四つすべてが一致する必要があります。

定常波は許される周波数を決めます。音の強さの例題は距離に伴う単位面積あたりのパワーを扱います。

理想モデルが通用しなくなる場所

開口部の空気は、物理的な縁で厳密に動きを止めるわけではありません。したがって実際の管の音響学的な有効長は実測長と少し異なります。これは開口端補正と呼ばれ、コネチカット大学の気柱の解説が有効長と物理的な長さの違いを説明しています。補正量は開口部や周囲に依存するので、完全に理想化した管の式だけでは実際の共鳴を1 Hz単位まで予測できません。上の計算例では、問題が単純な境界条件モデルを明示し、測定した $L$ を有効長としています。

温度は音速を変え、壁が完全に硬いという仮定や損失も影響します。弦の硬さや減衰はモードをずらしたり不鮮明にしたりします。これらは問題の仮定を読む理由であって、節の図を捨てる理由ではありません。図はどの理想的な式の系列から始めるか、進んだ問題ならどの補正が必要かを教えてくれます。

奇数次高調波の規則をすべての音源へ広げてはいけません。ほぼ閉じた端とほぼ開いた端の組にだけ当てはまります。同じ理想化では両端開放の気柱は整数次をすべて持ちます。振動する弦には固定端としての独自の条件があります。式を選ぶのは楽器の名前ではなく境界条件です。

立式を練習してから計算する

新しい問題では、端の条件を描き、節が変位と圧力のどちらを指すかを書き、許される $\lambda$ の何分の一が入るかを数えてから $v$ と $L$ を代入します。最後に $v=f\lambda$ を使って逆算しましょう。この一行で2倍の取り違えを多く見つけられます。

Physics Zenの波と音の練習には、弦と管の定常波の技能があり、毎回新しい値の問題と確認済みの解答が出ます。ここでの三例をひな型にしてください。張力と線密度から弦の速さを求める例、半波長から両端開放管を解く例、奇数個の4分の1波長から一端閉鎖管を解く例です。

よくある質問

**なぜ一端閉鎖管には第二高調波がないのですか？**半波長の波形では、片端を変位の節、もう片端を腹にできません。理想モデルで両端の条件を満たすのは、4分の1波長が1個、3個、5個といった奇数個入る波形だけです。

**開端は節ですか、それとも腹ですか？**空気の変位では近似的に腹、圧力変動では近似的に節です。どの量かを明示してから用語を使ってください。

**管の実測長をそのまま使えますか？**教科書の問題なら、指定された理想条件に従ってその長さを使います。実際の測定では開口端補正が必要な場合があるので、与えられた長さが物理的長さか有効長か確認してください。