クーロンの法則を直感で理解する：電荷、力、電場

風船を髪にこすり付けると、壁にくっつくことがあります。プラスチックのくしを乾いた髪に通すと、机の小さな紙片を持ち上げられます。くしと紙をつなぐものは見えませんが、空間を隔てて引く力が働き、近づくほど強くなります。

それが電気力です。クーロンの法則を使えば、電荷の量と、特に距離によって力がどう変わるか計算できます。以下では、真空または空気中で静止した小さな電荷を仮定します。

電荷は数えられる量

電荷には正と負の2種類があります。同じ符号どうしは反発し、異なる符号どうしは引き合います。陽子は正の電荷1単位、電子は負の電荷1単位を持ちます。この単位が電気素量です。

$$e = 1.602176634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$

2019年の国際単位系改定以降、この値は定義により正確です。物体の電荷は電気素量の整数倍で、1クーロンはおよそ $6.24 \times 10^{18}$ 個分の電気素量に相当します。

電荷は保存もされます。風船を髪にこすっても、電荷を新たにつくってはいません。電子を移しているのです。一方が得た分を、他方は失います。中性の物体にも電荷はありますが、正負の量が等しくなっています。

クーロンの法則：式と単位

1785年、Charles-Augustin de Coulombは、ねじりばかりで測った、電荷を帯びた小さな球2つの反発力を発表しました。APS Newsの記事によると、力は球の中心間距離の2乗に反比例しました。

現代の表記では、2つの点電荷 $q_1$ と $q_2$ が距離 $r$ だけ離れている場合、

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

です。$F$ はニュートン、電荷はクーロン、$r$ は中心から中心までのメートルで表します。クーロン定数 $k$ はクーロンとメートルからニュートンへ変換します。

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$$

ここで $\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ は真空の誘電率です。有効数字4桁なら $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$ になります。OpenStaxのクーロンの法則の節にも同じ式があります。

絶対値記号があるため、この式が返すのは力の大きさだけです。反発か引力かは電荷の符号で決まり、力は必ず2つの電荷を結ぶ直線上に働きます。

距離がとても重要な理由

$r^2$ があるため、距離は結果に大きく影響します。間隔を2倍にすると力は4分の1、3倍にすると9分の1です。

次は直感的な説明であり、証明ではありません。電荷の影響が全方向へ均等に広がると考えます。距離 $r$ では面積 $4\pi r^2$ の球面に分布します。$r$ を2倍にすると面積は4倍で、各部分に届く量は4分の1です。球面に現れる $4\pi$ は、$k$ にも含まれます。

距離の2乗は、風船が壁にくっつく理由も説明します。中性の壁の電荷が少し移動し、風船と異なる符号の電荷は近く、同じ符号の電荷は遠くに寄ります。距離で力が大きく変わるため、近いほうの引力が遠いほうの反発力を上回り、風船がくっつきます。

計算例：同じ電荷を持つ2つの球

2つの小さな球がそれぞれ $+2.0\ \mu\mathrm{C}$ を持ち、$0.30\ \mathrm{m}$ 離れています。1マイクロクーロンは $10^{-6}\ \mathrm{C}$ なので、それぞれの電荷に $2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ を代入します。

$$F = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})^2}{(0.30)^2} = \frac{0.03596}{0.090} \approx 0.40\ \mathrm{N}$$

両方とも正なので反発します。各球には互いから離れる向きに約0.40 Nの力が働きます。およそ質量40グラムの物体の重さに相当します。

間隔を $0.60\ \mathrm{m}$ にすると、距離は2倍で力は4分の1の $0.10\ \mathrm{N}$ です。最初から計算し直す必要はありません。

計算例：電気力はどれくらい強いか？

水素の電子と陽子がボーア半径だけ離れているとします。$r = 5.29 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}$ で、原子の基底状態における代表的な距離です。電荷の大きさはそれぞれ $e$ です。

$$F_e = \frac{(8.99 \times 10^{9})(1.602 \times 10^{-19})^2}{(5.29 \times 10^{-11})^2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$$

同じ粒子の間の重力には、$G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$、$m_e = 9.109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$、$m_p = 1.673 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ を使います。

$$F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2} \approx 3.63 \times 10^{-47}\ \mathrm{N}$$

電気力は重力のおよそ $2.27 \times 10^{39}$ 倍です。両方とも $1/r^2$ に比例して減るため、この比は距離を変えても同じです。

それなのに、なぜ地球の重力は人を地面に引き留め、月を軌道に保つのでしょうか。通常の物質はほぼ完全に中性だからです。陽子に電子が対応し、巨大な電気的引力と反発力はほとんど打ち消し合います。質量には負のものがないので、重力は打ち消されず、惑星のすべてのキログラムが引力に寄与します。

向きを決めてから足す

電荷が複数あれば、各組はほかの電荷が存在しないかのように相互作用します。合力はベクトルの和です。これが重ね合わせの原理です。

3つの電荷を直線上に置きます。

• $q_1 = +3.0\ \mu\mathrm{C}$ を $x = 0$ に置く。
• $q_2 = -2.0\ \mu\mathrm{C}$ を $x = 0.20\ \mathrm{m}$ に置く。
• $q_3 = +1.0\ \mu\mathrm{C}$ を $x = 0.10\ \mathrm{m}$ に置く。

$q_3$ に働く合力を求めます。ほかの電荷からの距離はそれぞれ $0.10\ \mathrm{m}$ です。計算前に向きを決めましょう。$q_1$ と $q_3$ は正なので、$q_1$ は $q_3$ を $+x$ 方向へ押します。負の $q_2$ は $q_3$ を自身へ引くので、こちらも $+x$ 方向です。

2つの結果を足すので、有効数字4桁を保ち、$k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$ を使います。

$$F_{13} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(3.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 2.696\ \mathrm{N}$$ $$F_{23} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 1.798\ \mathrm{N}$$

同じ方向へ働くため、大きさを足せます。

$$F_{\mathrm{net}} = 2.696 + 1.798 = 4.494\ \mathrm{N} \approx 4.49\ \mathrm{N}$$

$q_3$ に働く合力は右向きに約4.49 Nです。物理的な関係から向きを決め、式は大きさだけを与えました。

力から電場へ

クーロンの法則は2つの電荷の組を扱います。電場は1つの電荷の周囲の空間を表し、小さな正の試験電荷 $q$ に働く単位電荷あたりの力です。

$$E = \frac{F}{q}$$

単位はニュートン毎クーロンで、正の電荷が押される向きを向きます。クーロンの法則の式を試験電荷で割ると、点電荷 $Q$ の電場は次のとおりです。

$$E = k\frac{|Q|}{r^2}$$

距離 $0.30\ \mathrm{m}$ で、電荷が $2.0\ \mu\mathrm{C}$ の場合は、

$$E = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})}{(0.30)^2} \approx 2.0 \times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$$

です。試験電荷を置くかどうかにかかわらず電場は存在します。1度求めれば、$F = qE$ からそこに置いたどの電荷に働く力も得られます。例えば別の $2.0\ \mu\mathrm{C}$ の電荷には、最初の例と同じ0.40 Nが働きます。負の電荷には電場と逆向きの力が働きます。

電気力線は正電荷から出て、負電荷へ入るか無限遠まで伸びます。ある地点の電場はそこを通る線の接線方向で、線が密な場所ほど強くなります。電場の向きは各地点で1つなので、線は交わりません。孤立した電荷の周りでは、同じ数の線が各球面を通り、密度は $1/r^2$ に従って減ります。ここでも逆2乗です。

次に扱う電位は単位電荷あたりのエネルギーで、単位はボルトです。直列回路と並列回路のガイドに出る電圧は電位差です。

クーロンとニュートンを並べる

2つの法則は

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} \qquad F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

です。どちらも元となる2つの量の積に比例し、距離の2乗に反比例して小さくなります。違いは符号です。電荷は2種類、質量は1種類なので、電気力には引力と反発力がありますが、重力は引力だけです。強さの差は、上で計算したおよそ $10^{39}$ 倍です。

ニュートンの法則を使えば、クーロン力もほかの力と同じように加速度へ変換できます。第3法則も成り立ちます。3つの電荷の例では、$q_3$ は $q_1$ を同じ2.696 Nで押し返します。$q_1$ の電荷が3倍でも同じです。円運動のガイドでは重力が軌道の向心力になることを示し、水素のボーアモデルでは、電子に対してクーロン力が同じ役割を果たします。

失点につながるミス

• 距離を2乗し忘れる。 最初の例で0.090ではなく0.30で割ると、0.40 Nではなく0.12 Nになります。
• 単位を換算しない。 マイクロは $10^{-6}$、ナノは $10^{-9}$、30 cmは0.30 mです。両方の電荷をマイクロクーロンのまま使うと、力は $10^{12}$ 倍も大きくなります。
• 符号を向きだと思う。 $q_2$ と $q_3$ の符号付き積は負なので「左向き」に見えるかもしれません。しかし意味するのは引力で、$q_2$ へ向かう引力は右向きです。左向きとしてしまうと4.49 Nではなく約0.90 Nになります。
• 違う向きの力の大きさだけを足す。 力が同じ向きなら直接足せますが、直線上で反対なら引き、斜めなら成分に分けます。
• EとFを混同する。 単位N/Cの電場は空間の地点に対応し、単位ニュートンの力は特定の電荷に働きます。

最初の2つは数学のミスです。実は数学のミスである物理の間違いでは、単位の接頭辞と10の累乗を扱っています。

法則を実際に使う

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計算する前に各力の向きを決めましょう。次に距離を確認します。メートルで表して2乗します。クーロンの法則では、ほかのどの項よりも距離が結果を大きく変えます。