키르히호프의 두 법칙은 무엇인가요?

분기점 법칙(전류 법칙)은 전하가 보존되므로 분기점에 들어오는 전체 전류와 나가는 전체 전류가 같다고 말합니다. 고리 법칙(전압 법칙)은 닫힌 고리 한 바퀴의 전위 변화량을 모두 더하면 0이라고 말합니다.

키르히호프 문제에서 전류가 음수로 나오면 무슨 뜻인가요?

실제 전류가 처음 그린 화살표의 반대 방향으로 흐른다는 뜻입니다. 크기는 맞습니다. 이후의 모든 식에도 음수 값을 그대로 사용하고 마지막에 방향만 다시 해석하세요.

식은 몇 개 필요한가요?

미지 전류마다 독립적인 식이 하나 필요합니다. 한 분기점을 제외한 나머지 분기점에 법칙을 적용한 다음 식의 개수가 맞을 때까지 고리 식을 더하세요. 같은 고리에서 얻은 중복 식은 독립적이지 않아 도움이 되지 않습니다.

언제 직렬·병렬 규칙 대신 키르히호프 법칙이 필요한가요?

둘 이상의 갈래에 전원이 있거나 어느 두 저항도 같은 두 끝점이나 갈라지지 않은 한 경로를 공유하지 않는 브리지 회로일 때입니다. 직렬·병렬 단순화가 가능하다면 그 방법이 더 빠르게 같은 답을 줍니다.

키르히호프 법칙 풀이: 분기점 법칙과 고리 법칙 예제

전지 두 개와 저항 세 개가 있습니다. 작은 전지에는 전류가 어느 방향으로 흐를까요? 대부분 전지는 그런 것이라고 생각하며 양극에서 나오는 화살표를 그립니다. 아래 회로에서는 그 예상이 틀렸습니다. 대수 계산에서 음수 값이 나와 이를 알려 줍니다. 키르히호프 법칙의 핵심은 그 마이너스 부호를 올바르게 읽는 데 있습니다.

이 글은 두 법칙을 소개하고 부품을 지날 때의 부호를 표로 정리한 다음, 전류 한 개를 일부러 잘못된 방향으로 예상한 두 고리 회로를 풉니다. 마지막에는 직렬·병렬로 줄이기 시작할 수 없는 대표적인 브리지 회로를 다룹니다. 모든 예제에는 내부 저항이 없는 이상적인 전지와 이상적인 도선, 정상 상태 직류를 사용합니다.

분기점 법칙은 전하 장부입니다

분기점은 도선 세 개 이상이 만나는 점입니다. 키르히호프의 제1법칙인 분기점 법칙, 또는 전류 법칙은 분기점으로 들어오는 전류의 합과 나가는 전류의 합이 같다고 말합니다.

\sum I_{\text{in}}=\sum I_{\text{out}}

OpenStax의 키르히호프 법칙 단원은 이를 전하 보존으로 설명합니다. 전류는 전하의 흐름이고 도선에 전하가 계속 쌓이지 않으므로 분기점에 도착한 것은 다시 나가야 합니다. 한 도선으로 3A가 들어오고 다른 도선으로 2A가 나가면 세 번째 도선에는 1A가 나갑니다.

모든 분기점에 적용할 수 있지만 분기점이 $n$ 개라면 독립적인 식은 $n-1$ 개뿐입니다. 마지막 식은 이미 가진 정보를 반복합니다.

고리 법칙은 전위 장부입니다

키르히호프의 제2법칙인 고리 법칙, 또는 전압 법칙은 닫힌 고리를 한 바퀴 돌며 전위 변화를 모두 더하면 0이라고 말합니다.

\sum \Delta V=0

출발한 점으로 되돌아오고 한 점의 전위는 하나뿐입니다. OpenStax는 이 법칙을 에너지와 연결합니다. 전원이 고리를 지나는 전하에 공급한 에너지는 그 고리의 장치로 전달됩니다.

법칙 자체는 간단하지만 부호에서 점수를 잃기 쉽습니다. 다음 표로 한 번 정해 두세요.

통과하는 부품	진행 방향	전위 변화
저항 $R$	가정한 전류 $I$ 와 같은 방향	$-IR$
저항 $R$	가정한 전류 $I$ 와 반대 방향	$+IR$
전지 $\varepsilon$	−극에서 +극으로	$+\varepsilon$
전지 $\varepsilon$	+극에서 −극으로	$-\varepsilon$

OpenStax도 같은 네 규칙을 제시합니다. 두 가지를 기억하세요. 저항의 부호는 아직 모르는 실제 전류가 아니라 내가 그린 전류 화살표에 따릅니다. 전지의 부호는 어떤 극을 먼저 지나는지에만 따르며 전지를 통과하는 전류 방향과는 무관합니다.

전류 방향을 하나 잘못 예상한 두 고리 회로

위쪽 수평 도선이 접점 A에서 이어지고 아래쪽 도선이 접점 B에서 이어진 회로를 상상해 보세요. 수직 갈래 세 개가 두 접점을 잇습니다.

갈래	아래에서 위로 들어 있는 부품	가정한 전류
왼쪽	+극이 위인 12V 전지, 이어서 2Ω 저항	$I_1$ , A로 들어가는 위쪽 방향
가운데	3Ω 저항	$I_2$ , A에서 나가는 아래쪽 방향
오른쪽	+극이 위인 3V 전지, 이어서 3Ω 저항	$I_3$ , A로 들어가는 위쪽 방향

$I_1$ 과 $I_3$ 화살표는 둘 다 양극에서 나가는 방향입니다. 자연스러운 예상이지만 3V 전지에 대해서는 틀렸습니다. 피하려 하지 마세요. 이 방법은 잘못 예상해도 작동합니다.

분기점 A. 두 전류가 들어오고 하나가 나갑니다.

I_1+I_3=I_2

왼쪽 고리. B에서 시작해 왼쪽 갈래를 올라간 후 위쪽 도선을 따라 A에 도착하고 가운데 갈래를 내려와 B로 돌아갑니다. 12V 전지는 −극에서 +극으로 지나므로 $+12$ 입니다. 2Ω 저항은 $I_1$ 방향으로 지나므로 $-2I_1$ 입니다. 가운데 3Ω 저항은 $I_2$ 를 따라 내려가므로 $-3I_2$ 입니다.

12-2I_1-3I_2=0

오른쪽 고리. B에서 시작해 오른쪽 갈래로 A까지 올라갔다가 가운데 갈래로 내려옵니다.

3-3I_3-3I_2=0

미지수 세 개에 독립적인 식 세 개입니다. 이제 풉니다.

식을 푼 뒤 부호를 읽으세요

오른쪽 고리 식은 $I_2+I_3=1$ 이므로 $I_3=1-I_2$ 입니다. 분기점 식에서 $I_1$ 을 $I_2-I_3$ 로 바꾼 뒤 왼쪽 고리 식에 대입합니다.

12-2(I_2-I_3)-3I_2=0\quad\Rightarrow\quad 12-5I_2+2I_3=0

$I_3=1-I_2$ 를 대입하면,

12-5I_2+2-2I_2=0\quad\Rightarrow\quad I_2=2\ \mathrm{A}

따라서 $I_3=1-2=-1\ \mathrm{A}$ 이고 $I_1=I_2-I_3=2-(-1)=3\ \mathrm{A}$ 입니다.

$I_3$ 의 마이너스 부호가 이 예제의 핵심입니다. 크기 1A는 맞고 방향은 처음 화살표와 반대입니다. 전류는 오른쪽 갈래를 아래로 흘러 3V 전지의 양극으로 들어갑니다. OpenStax도 처음 방향을 잘못 가정하면 음수가 나오며 그 답은 올바르다고 설명합니다.

부호 때문에 실수하지 않으려면 두 습관을 지키세요.

화살표를 뒤집고 처음부터 다시 시작하지 마세요. 식은 처음 화살표에 맞춰 만들었고 서로 일관됩니다.
이후의 모든 단계에서 음수 값을 그대로 쓰세요. $I_1=I_2-I_3$ 에 $I_3$ 를 $-1$ 로 넣어야 3A가 나옵니다. 부호를 버리면 1A가 되고 오류가 번집니다.

물리적으로 12V 전지가 3V 전지에 전류를 거꾸로 밀어 넣습니다. 그 자리에 충전식 전지가 있다면 충전되는 중입니다. 식을 푸는 단계가 어렵다면 사실은 수학 실수인 물리 문제의 오류 가이드에서 미지수 두 개와 연립방정식을 다룬 부분을 참고하세요.

접점 전압과 전력으로 두 번 확인하기

접점 전압. 모든 갈래가 A와 B를 잇기 때문에 모두 같은 전위차 $V_A-V_B$ 를 줘야 합니다. 가운데 갈래는 $3\times2=6\ \mathrm{V}$ 입니다. 왼쪽 갈래에서는 전지가 전위를 12V 올리고 저항에서 $2\times3=6\ \mathrm{V}$ 내려가므로 6V가 남습니다. 오른쪽 갈래는 $3-3\times(-1)=6\ \mathrm{V}$ 입니다. 갈래 셋에서 답이 같습니다.

전력 균형. OpenStax는 전원이 공급하는 전력과 다른 부품들이 받는 전력을 비교해 키르히호프 풀이를 확인하라고 권합니다. 이 회로에서는,

부품	전력
12V 전지, +극에서 3A가 나감	$12\times3=36\ \mathrm{W}$ 공급
2Ω 저항, 3A	$3^2\times2=18\ \mathrm{W}$
가운데 3Ω 저항, 2A	$2^2\times3=12\ \mathrm{W}$
오른쪽 3Ω 저항, 1A	$1^2\times3=3\ \mathrm{W}$
3V 전지, +극으로 1A가 들어감	$3\times1=3\ \mathrm{W}$ 흡수

공급 36W, 소비 18+12+3+3=36W로 균형이 맞습니다. 3V 전지를 전력 흡수로 셌기 때문에 맞는 결과입니다. 음의 전류가 에너지 관점에서도 나타난 것입니다. $I_3$ 를 +1A로 잘못 읽었다면 장부는 6W 어긋납니다.

직렬·병렬 단순화만으로 충분할 때

직렬 및 병렬 회로 가이드는 회로망을 단계별로 단순화합니다. 갈라지지 않는 한 경로 또는 같은 두 접점을 공유하는 두 저항을 찾아 합치고 반복합니다. 가능하다면 이 방법을 쓰세요. 키르히호프 법칙이 이미 적용된 지름길입니다.

하지만 두 경우에서는 멈춥니다. 첫째는 위 회로처럼 서로 다른 갈래 두 곳에 전지가 있어 어느 갈래 쌍도 단일 저항으로 바꿀 수 없는 경우입니다. 둘째는 브리지입니다. 접점 A와 B 사이에 12V 전원을 연결합니다. 왼쪽 팔은 A에서 1Ω을 거쳐 C로, 이어 4Ω을 거쳐 B로 갑니다. 오른쪽 팔은 A에서 4Ω을 거쳐 D로, 이어 1Ω을 거쳐 B로 갑니다. C와 D는 2Ω 브리지 저항으로 연결합니다.

이 회로에서는 어느 두 저항도 같은 두 끝점을 공유하지 않고 어느 저항도 갈라지지 않는 경로에 홀로 있지 않아 단순화를 시작할 수 없습니다. OpenStax에 따르면 이런 회로가 많습니다. 대신 B를 0V로 놓고 C와 D에 분기점 법칙을 적용하세요.

\frac{12-V_C}{1}=\frac{V_C}{4}+\frac{V_C-V_D}{2},\qquad \frac{12-V_D}{4}=\frac{V_D}{1}+\frac{V_D-V_C}{2}

해는 $V_C=8\ \mathrm{V}$ 와 $V_D=4\ \mathrm{V}$ 입니다. 따라서 C에서 D로 브리지를 가로지르는 전류는 2A이고 전원은 6A를 공급하며 회로망 전체는 2Ω처럼 작용합니다. C에서 확인해 보세요. 1Ω 저항을 통해 4A가 들어오고 4Ω 저항으로 2A, 브리지로 2A가 나갑니다.

솔깃한 지름길은 브리지를 무시하고 양쪽 팔을 각각 5Ω 경로로 본 뒤 병렬로 묶는 것입니다. 그러면 2.5Ω과 4.8A가 나와 실제 6A보다 20% 부족합니다. 이 지름길은 브리지가 균형을 이뤄 양쪽 팔이 같은 비율로 전압을 나눌 때에만 맞습니다. 그 경우 C와 D의 전위가 같아 브리지에 전류가 흐르지 않습니다. 여기서는 왼쪽 팔의 위 저항이 1Ω이고 오른쪽은 4Ω이라 비율이 뒤집혀 브리지에 전류가 흐릅니다.

연습 회로 두 개와 답

1. 두 전지가 모두 방전할 때. 위의 두 고리 구조를 사용하되 왼쪽 갈래에는 12V 전지와 3Ω 저항, 가운데에는 2Ω 저항, 오른쪽에는 9V 전지와 3Ω 저항을 놓고 두 전지 모두 +극을 위로 둡니다. 전류 세 개를 구하고 전력을 확인하세요. 답은 $I_1=2\ \mathrm{A}$ , $I_2=3\ \mathrm{A}$ , $I_3=1\ \mathrm{A}$ 이며 모두 처음 화살표 방향입니다. $V_A-V_B=6\ \mathrm{V}$ 입니다. 전력은 $24+9=33\ \mathrm{W}$ 가 공급되고 저항에서 $12+18+3=33\ \mathrm{W}$ 가 소비됩니다.

2. 균형 잡힌 브리지. 같은 12V 브리지 구조에서 왼쪽 팔은 1Ω 다음 2Ω, 오른쪽 팔은 2Ω 다음 4Ω으로 하고 브리지 저항은 어떤 값이어도 됩니다. 브리지 전류와 전원 전류를 구하세요. 답은 $V_C=V_D=8\ \mathrm{V}$ 여서 브리지 전류는 0A입니다. 양쪽 팔은 각각 3Ω과 6Ω의 병렬로 합성 저항 2Ω이고 전원은 6A를 공급합니다. 이 경우에만 브리지를 없애도 됩니다.

부호가 자연스러워질 때까지 연습하세요

방법은 회로마다 같습니다. 화살표를 먼저 그리고, 분기점과 고리에 표의 부호를 적용해 식을 세운 뒤 풀고 부호를 읽고 전력으로 확인합니다. 달라지는 것은 마이너스 부호 앞에서 멈칫하지 않고 얼마나 빠르게 해내는가입니다. 키르히호프 법칙은 A-Level Physics 학습 계획의 전기 단원에 나오며 같은 습관은 축전기 회로망에도 이어집니다. 축전기 직렬·병렬 가이드에서도 분기점의 전하 보존을 같은 방식으로 사용합니다.

Physics Zen의 전기 회로 주제는 옴의 법칙, 직렬과 병렬, 전력에서 시작해 전원 두 개짜리 회로를 다루는 키르히호프 법칙 소주제로 이어집니다. 이 소주제는 iPhone과 Android에서 프리미엄 전용입니다. 매번 새로운 값, 즉시 채점, 풀이 과정을 제공하므로 음의 전류를 실수가 아닌 방향 정보로 읽는 연습을 할 수 있습니다.