축전기의 직렬·병렬 연결: 전하량, 전압, 전기 용량

같은 12V 전원에 6마이크로패럿 축전기 두 개를 연결해도 합성 전기 용량은 달라질 수 있습니다. 같은 두 접점 사이에 연결하면 12마이크로패럿이고 하나 뒤에 다른 하나를 잇으면 3마이크로패럿입니다. 부품은 그대로입니다. 연결 방식에 따라 공유하는 양이 달라집니다.

축전기 회로에서는 “무슨 공식을 기억하지?”보다 “어느 두 극판이 같은 접점을 공유하고 어떤 접점이 고립돼 있지?”가 유용한 질문입니다. 여기서는 이상적인 축전기와 도선, 그리고 축전기와 고립된 내부 접점에 처음 전하가 없는 회로에 일정한 전압을 걸어 정상 상태가 된 경우를 사용합니다. 직렬에서 전하량이 같다는 일반적인 규칙에 이 전제들이 중요합니다.

볼트당 전하량에서 시작하세요

축전기에는 떨어져 있는 도체 극판 두 개가 있습니다. 단순한 모형에서 한 극판에는 $+Q$, 다른 극판에는 $-Q$가 있습니다. $Q$는 두 극판의 절댓값을 더한 값이 아니라 각 극판 전하량의 크기입니다. 전기 용량은 극판 사이 1볼트당 그 전하량을 얼마나 저장하는지 나타냅니다.

$$C=\frac{Q}{V},\qquad Q=CV$$

1패럿은 1볼트당 1쿨롱입니다. 예제에서는 마이크로패럿과 마이크로쿨롱을 쓰면 수치가 간단합니다: $1\ \mu\mathrm{F}\times1\ \mathrm{V}=1\ \mu\mathrm{C}$. 따라서 6마이크로패럿 축전기 양단에 12V가 걸리면 각 극판의 전하량 크기는 $Q=72\ \mu\mathrm{C}$입니다. OpenStax의 전기 용량 단원이 이 관계를 정의합니다.

전기 용량을 전하량 자체로 착각하지 마세요. 전기 용량은 이상적인 부품의 성질이고 양단 전압이 바뀌면 전하량이 바뀝니다. 또한 축전기가 $Q$의 두 배를 저장한다고 주장하며 양극판과 음극판 전하량의 크기를 더하지 마세요. 두 극판의 전하는 크기가 같고 부호가 반대여서 축전기 전체의 순전하는 0입니다.

병렬: 전압 하나, 전하량은 더합니다

축전기 두 개가 같은 두 접점 사이에 각각 연결되면 병렬입니다. 둘 다 같은 전위차 $V$를 갖습니다. 각 극판의 전하량 크기는 $Q_1=C_1V$와 $Q_2=C_2V$이며 전원은 양쪽 양극판에 그 합을 공급합니다.

$$Q_{\mathrm{total}}=Q_1+Q_2=(C_1+C_2)V$$

합성 축전기에서도 $Q_{\mathrm{total}}=C_{\mathrm{p}}V$이므로,

$$C_{\mathrm{p}}=C_1+C_2$$

병렬 축전기가 더 많아도 전기 용량을 모두 더하면 됩니다. 전하량까지 같다는 뜻은 아닙니다. 전압이 같을 때 전기 용량이 큰 축전기가 전하를 더 많이 저장합니다.

$C_1=2\ \mu\mathrm{F}$, $C_2=4\ \mu\mathrm{F}$를 12V에 병렬로 연결합니다. 둘 다 $V_1=V_2=12\ \mathrm{V}$입니다. 각 전하량의 크기는,

$$Q_1=(2\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})=24\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_2=(4\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})=48\ \mu\mathrm{C}$$

전원에서 가져온 전하량의 합은 $72\ \mu\mathrm{C}$이며 $(6\ \mu\mathrm{F})(12\ \mathrm{V})$와 같습니다. 전압은 같고 전하량은 다른 결과는 정확히 $Q=CV$가 예측한 대로입니다.

직렬: 전하량 크기 하나, 전압은 더합니다

이번에는 같은 축전기 두 개를 전원 단자 사이에 잇따라 연결합니다. 두 축전기 사이에는 세 번째 도선이 붙지 않은 내부 접점 하나가 있습니다. 가정한 모형에서 이 접점은 처음 순전하가 0이고 계속 고립돼 있습니다. 접점 한쪽에 유도된 전하는 다른 쪽의 크기가 같고 부호가 반대인 전하와 균형을 이뤄야 합니다. 따라서 두 축전기는 극판의 부호가 달라도 전하량의 크기 $Q$가 같습니다.

전원 전압은 두 축전기에 걸린 전압 크기의 합입니다. $V_i=Q/C_i$이므로,

$$V=V_1+V_2=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}=Q\left(\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}\right)$$

합성 축전기에도 $V=Q/C_{\mathrm{s}}$가 성립하므로,

$$\frac{1}{C_{\mathrm{s}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2},\qquad C_{\mathrm{s}}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}\quad\text{for two capacitors}$$

2마이크로패럿과 4마이크로패럿을 직렬로 연결하면 $C_{\mathrm{s}}=8/6=4/3\ \mu\mathrm{F}$입니다. 12V에서는 공통 전하량의 크기가,

$$Q=C_{\mathrm{s}}V=\frac{4}{3}\ \mu\mathrm{F}\times12\ \mathrm{V}=16\ \mu\mathrm{C}$$

2마이크로패럿 축전기에는 $V_1=Q/C_1=8\ \mathrm{V}$, 4마이크로패럿 축전기에는 $V_2=4\ \mathrm{V}$가 걸립니다. 합은 12V입니다. 같은 전하량에서 전기 용량이 작은 쪽의 전압이 큽니다. 전하량이 같다고 전압까지 같지는 않습니다.

직렬 합성 전기 용량은 각각의 축전기보다, 특히 작은 쪽보다도 작습니다. 이유를 보려면 $Q$를 일정하게 두세요. 전압 강하 두 개가 더해지므로 각 부품 하나보다 전체에 단위 전하당 더 많은 전압이 필요합니다. 따라서 전체 $Q/V$는 더 작아야 합니다. OpenStax의 직렬·병렬 유도도 같은 전하량과 전압 논리로 설명합니다.

전하량이 같다는 지름길에는 전제가 필요합니다. 처음부터 전하를 띤 축전기나 처음 순전하가 0이 아닌 접점이라면 각 접점의 전하 보존을 따로 적용해야 할 수 있습니다. 브리지 회로는 간단한 직렬·병렬 묶음으로 줄이지 못할 수도 있습니다. 저항 버전은 키르히호프의 분기점·고리 법칙으로 풉니다. 지름길을 쓰기 전에 회로 상태를 밝혀 두세요.

직렬 문제에서 전하량이라는 말을 정확히 사용하세요. 고립된 접점에서 마주 보는 극판의 부호는 반대입니다. “두 축전기의 전하량이 모두 $Q$”라는 말은 각 극판의 크기가 같다는 뜻이지 양전하가 두 극판 사이의 절연 틈을 가로질렀다는 뜻이 아닙니다. 또한 전원의 12V는 직렬 연결 전체에 걸리고 각 축전기에는 자기 몫만 걸립니다. 문제에서 크기만 묻더라도 극판 부호와 전압을 재는 두 끝점을 기억하세요. 그래야 맞는 합성 전기 용량 공식에 틀린 전압이나 전하량을 붙이지 않습니다.

혼합 회로를 줄인 뒤 다시 펼치세요

12마이크로패럿 축전기가 2마이크로패럿과 4마이크로패럿의 병렬 묶음과 직렬로 연결돼 있다고 합시다. 회로 전체에는 12V를 걸었습니다. 먼저 병렬 쌍을 합칩니다.

$$C_{23}=2+4=6\ \mu\mathrm{F}$$

이제 회로는 12마이크로패럿과 6마이크로패럿의 직렬 연결과 같습니다.

$$C_{\mathrm{eq}}=\frac{12\times6}{12+6}=4\ \mu\mathrm{F}$$

전원이 공급한 전하량의 크기는 $Q_{\mathrm{eq}}=C_{\mathrm{eq}}V=48\ \mu\mathrm{C}$입니다. 두 묶음은 직렬이므로 12마이크로패럿 축전기의 전하량과 합성 6마이크로패럿 묶음의 전하량도 같습니다. 12마이크로패럿 축전기의 전압은 $V_1=48/12=4\ \mathrm{V}$이고 병렬 묶음에는 남은 $8\ \mathrm{V}$가 걸립니다.

병렬 묶음의 두 축전기에는 모두 8V가 걸립니다. 전하량은,

$$Q_2=(2\ \mu\mathrm{F})(8\ \mathrm{V})=16\ \mu\mathrm{C},\qquad Q_3=(4\ \mu\mathrm{F})(8\ \mathrm{V})=32\ \mu\mathrm{C}$$

갈래의 전하량을 더하면 $48\ \mu\mathrm{C}$로 직렬 묶음의 전하량과 같습니다. 전압은 $4+8=12\ \mathrm{V}$로 확인할 수 있습니다. 합성 묶음에 전하량 48마이크로쿨롱이 있다고 각 갈래에도 48마이크로쿨롱씩 있다고 생각하는 것이 흔한 실수입니다. 직렬 축전기의 전하량과 일치하는 것은 묶음의 합계이며 갈래들은 전기 용량에 따라 이를 나눕니다.

이 예제는 OpenStax의 혼합 회로 예제와 구조가 같지만 절차는 줄일 수 있는 모든 회로에 유용합니다. 공통 접점을 보고 묶고 안쪽부터 줄여 전원 전하량을 구한 다음 다시 펼치세요. 그림에서 가깝게 놓였다는 이유로 축전기를 합치지 마세요. 직렬·병렬 회로 가이드에서는 접점을 식별하는 방법을 설명하지만 그곳의 수치 예제는 직렬·병렬 공식이 반대로 적용되는 저항을 다룹니다.

답을 믿기 전 네 가지 점검

1. 연결 구조: 병렬 부품은 양쪽 끝 접점 두 개를 공유합니다. 직렬 부품은 다른 갈래가 없는 고립된 중간 접점을 공유합니다.
2. 크기: 양의 이상적인 전기 용량에 대해 병렬 합성값은 각 부품보다 크고 직렬 합성값은 각 부품보다 작습니다.
3. 단위: 마이크로패럿에 볼트를 곱하면 마이크로쿨롱입니다. 전하량을 패럿으로, 전기 용량을 쿨롱으로 적지 마세요.
4. 되짚기: 병렬 갈래 전압은 같고 직렬 전압 강하의 합은 전원 전압이며 갈래 전하량을 더하면 해당 병렬 묶음의 전하량입니다.

짧은 역방향 검산을 해 보세요. $C_1=3\ \mu\mathrm{F}$, $C_2=6\ \mu\mathrm{F}$인 축전기 두 개가 18V에 직렬로 연결됐습니다. 합성값은 2마이크로패럿이므로 각 전하량의 크기는 $36\ \mu\mathrm{C}$입니다. 전압은 각각 12V와 6V입니다. 큰 축전기에 작은 전압이 걸리고 두 전압의 합은 18V입니다. 둘 다 18V가 나왔다면 병렬 규칙을 잘못 쓴 것입니다.

Physics Zen의 축전기 주제에서는 전하량, 전기 용량, 에너지 문제로 기본 관계를 연습한 뒤 혼합 회로로 넘어갈 수 있습니다. 계산마다 연결 방식과 단위를 옆에 적으세요. 그것들이 분명해지면 대수 계산은 대개 쉬운 부분입니다.