전위와 전기장의 차이: 높이, 기울기, 전하로 이해하기

산에서 두 지점이 모두 높은 곳에 있어도 그 사이의 땅은 거의 평평할 수 있습니다. 반면 훨씬 낮은 곳이라도 가파른 비탈에 있을 수 있습니다. 높이와 기울기는 같은 지형의 서로 다른 성질을 나타냅니다.

전위와 전기장의 관계도 비슷합니다. 전위는 각 위치의 값을 나타냅니다. 전기장은 위치를 옮길 때 그 값이 어떻게 변하는지, 특히 가장 급하게 감소하는 방향을 알려 줍니다. 전위가 높다고 전기장이 반드시 강한 것은 아닙니다.

이 글에서는 전하와 전기장이 시간에 따라 변하지 않는 정전기 현상을 다룹니다. 이때 하나의 전위 분포로 전기장 전체를 나타낼 수 있습니다.

네 가지 물리량, 두 가지 쌍

먼저 특정 전하에 작용하는 양을 보겠습니다. 전하에는 전기력 $\mathbf{F}$가 작용하고, 전하의 배치에 따라 전기 퍼텐셜 에너지 $U$가 정해집니다.

각각을 시험 전하의 전하량 $q$로 나누면 다음과 같습니다.

$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q}, \qquad V=\frac{U}{q}$$

전기장 $\mathbf{E}$와 전위 $V$는 그 위치의 환경을 나타냅니다. 그 자리에 다른 작은 시험 전하를 놓으면 힘과 에너지는 달라지지만, 시험 전하가 원래의 전하 분포에 눈에 띄는 영향을 주지 않는 한 환경은 그대로입니다.

전기장은 방향도 답의 일부인 벡터량입니다. 전위는 부호를 가진 값이지만 방향은 없는 스칼라량입니다. OpenStax의 전위 소개에서는 에너지와 단위 전하당 에너지의 차이를 설명합니다.

쿨롱 법칙 가이드에서는 원천 전하가 힘과 전기장을 만드는 방법을 설명했습니다. 전위를 이용하면 같은 문제를 다른 경로로 풀 수 있습니다.

전압은 두 위치를 비교합니다

전압은 전위차입니다.

$$\Delta V=V_B-V_A$$

전하가 A에서 B로 이동할 때 퍼텐셜 에너지의 변화는 다음과 같습니다.

$$\Delta U=q\Delta V$$

전하량이 $+3\ \mathrm{\mu C}$인 전하가 10 V인 곳에서 4 V인 곳으로 이동한다고 해 봅시다. 전위 변화는 $4-10=-6\ \mathrm{V}$이므로,

$$\Delta U=(3\times10^{-6})(-6) =-18\times10^{-6}\ \mathrm{J}$$

퍼텐셜 에너지가 18마이크로줄 감소합니다. 전기장은 전하에 18마이크로줄의 양의 일을 합니다. 전기력만 일을 한다면 운동 에너지가 그만큼 증가합니다. 계산 방식은 일과 에너지 가이드와 같습니다.

전위의 기준을 바꿔도 이 결과들은 변하지 않습니다. 두 전위를 모두 100 V 올리면 전하는 110 V에서 104 V로 이동하며 여전히 6 V 낮아집니다. 따라서 “이 점의 전위는 10 V”라는 말에는 언제나 기준점이 필요합니다.

전기장은 전위의 내리막 기울기입니다

한 좌표 방향에서 정전기적 관계는 다음과 같습니다.

$$E_x=-\frac{dV}{dx}$$

마이너스 부호가 방향을 알려 줍니다. 전기장은 전위가 감소하는 쪽을 향합니다. 텍사스 대학교의 Richard Fitzpatrick 강의 노트는 일과 에너지에서 이 식을 유도합니다. 미적분을 쓰지 않아도 균일한 전기장은 이해할 수 있습니다. 전위 변화를 거리로 나누고 부호를 반대로 바꾸면 됩니다.

전위가 $x=0$에서 18 V이고 $x=0.04\ \mathrm{m}$에서 6 V이며, 그 사이에서 일정한 비율로 감소한다고 합시다.

$$E_x=-\frac{6-18}{0.04}=+300\ \mathrm{V/m}$$

양의 부호는 전기장이 x축의 양의 방향을 향한다는 뜻입니다. 같은 4 cm 동안 전위가 3 V만 감소한다면 전기장은 75 V/m입니다. 중요한 것은 1미터당 전위가 얼마나 떨어지는가입니다.

간단한 식 $E=|\Delta V|/d$는 전기장이 균일하고 거리를 전기장 방향으로 측정했을 때 사용합니다. 큰 평행판 사이에서 가장자리를 벗어난 부분에는 유용한 근사가 될 수 있습니다. 점전하 주위에서는 거리에 따라 전기장이 변하므로 유한한 거리에 걸친 전위차를 그 거리로 나누면 해당 경로의 평균값을 얻을 뿐, 모든 점의 전기장을 얻는 것은 아닙니다.

전위가 변하는 경우의 도함수 식과 3차원으로 확장한 식은 OpenStax의 전위에서 전기장 구하기 단원에 나와 있습니다.

음전하는 힘의 방향을 뒤집습니다

전기장의 방향은 양의 시험 전하를 기준으로 정의합니다. 임의의 전하에 작용하는 힘은 다음과 같습니다.

$$\mathbf{F}=q\mathbf{E}$$

$q$가 음수이면 힘의 방향은 반대가 됩니다. 앞에서 구한 300 V/m의 전기장에 $-2\ \mathrm{\mu C}$의 전하를 놓으면,

$$F_x=(-2\times10^{-6})(300) =-6\times10^{-4}\ \mathrm{N}$$

전기력은 전위가 더 높은 x축의 음의 방향을 향합니다. 그렇다고 퍼텐셜 에너지가 증가한다는 뜻은 아닙니다. 전위 $V$가 증가해도 음의 전하량을 곱하면 $U$는 감소합니다.

운동 방향은 정확히 구분해야 합니다. 힘은 가속도의 방향을 결정할 뿐, 입자가 이미 움직이는 방향까지 반드시 결정하지는 않습니다. 낮은 전위 쪽으로 발사된 음전하는 속력이 줄면서도 한동안 그쪽으로 계속 움직일 수 있습니다. “음전하는 높은 전위 쪽으로 간다”는 말은 힘의 방향이나 정지 상태에서 출발할 때의 초기 가속도를 설명할 뿐, 모든 궤적을 설명하지는 않습니다.

전위가 0인 것과 전기장이 0인 것은 다릅니다

크기가 같은 양의 점전하 두 개를 한 직선 위에 놓습니다. 중간점에서는 두 전기장의 크기가 같고 방향이 반대이므로 합성 전기장은 0입니다. 무한원점을 전위 0으로 정하면 각 전하가 만드는 전위는 양수여서 서로 더해집니다. 전기장이 0이어도 그 지점의 전위는 양수입니다.

이제 원천 전하 하나를 크기가 같은 음전하로 바꿉니다. 중간점에서는 양전하와 음전하의 전위가 상쇄됩니다. 하지만 두 전하가 만드는 전기장은 모두 양전하에서 음전하 쪽을 향하므로 상쇄되지 않고 더해집니다.

이 두 예시는 전기장의 크기를 전위처럼 스칼라량으로 더하는 흔한 실수를 보여 줍니다. 전기장을 합칠 때는 방향을, 전위를 합칠 때는 대수적 부호를 확인하세요.

한 점에서 전기장이 0이라고 해서 주변 영역 전체의 전위가 일정하다는 뜻도 아닙니다. 언덕에 부분적으로 평평한 지점이 있을 수 있듯, 변하는 전위 분포에서 그 점이 정지점일 수 있습니다.

등전위면은 등고선과 같습니다

등고선 지도에서 같은 선 위의 점들은 높이가 같습니다. 등전위면 위의 점들은 전위가 같습니다.

전하가 그 면을 따라 움직이면 전기 퍼텐셜 에너지의 변화는 0입니다. 전기장이 존재하더라도 그 움직임에 대해 전기장은 일을 하지 않습니다. 전기장이 0이 아닌 곳에서는 전기장 방향이 등전위면과 직각을 이룹니다.

등전위선이 촘촘한 곳에서 전기장이 더 강하다고 말할 수 있는 것은 인접한 선들의 전위 간격이 같을 때뿐입니다. 전압 간격이 일정하지 않은 그림이라면 선 사이 거리를 비교하기 전에 표시된 값을 확인해야 합니다.

문제에 맞는 식을 선택하세요

힘을 구하나요? 전하가 있는 곳의 전기장을 구한 뒤, 부호를 포함한 전하량을 곱하세요. 방향도 적으세요.

에너지나 속력을 구하나요? 전위차로 $\Delta U=q\Delta V$를 구하세요. 다른 힘도 일을 한다면 에너지 변화를 속력으로 바꾸기 전에 그 일도 포함하세요.

전위 그래프가 주어졌나요? 기울기를 읽고 그래프의 좌표 방향에 대한 전기장 성분을 구하세요. 그래프가 높다고 기울기도 큰 것은 아닙니다.

회로 문제인가요? 각 지점 사이의 전위차를 추적하세요. 직렬 및 병렬 회로 가이드에서는 한 경로를 따라 전압 변화가 더해지고, 병렬 갈래는 같은 두 끝점을 공유하는 이유를 설명합니다.

Physics Zen에서 연습할 때는 문제 옆에 전기장, 힘, 전위, 에너지의 네 칸을 그려 보세요. 숫자를 대입하기 전에 각 칸에 알맞은 단위를 써 보세요. 이렇게 분리하면 부호 오류나 빠뜨린 전하량을 훨씬 쉽게 찾을 수 있습니다.