쿨롱 법칙을 직관적으로 이해하기: 전하, 힘, 전기장

머리카락에 풍선을 문지르면 풍선이 벽에 달라붙습니다. 마른 머리카락에 플라스틱 빗을 문지른 뒤 책상 위 종잇조각을 들어 올릴 수도 있습니다. 빗과 종이 사이에 보이는 연결은 없지만 틈을 가로질러 당기는 힘이 작용하고 가까울수록 강해집니다.

이 힘이 전기력입니다. 쿨롱 법칙은 전하량과 특히 거리에 따라 힘이 어떻게 달라지는지 수치로 나타냅니다. 예제에서는 진공이나 공기 중에 정지한 작은 전하를 가정합니다.

전하는 셀 수 있는 양입니다

전기 전하에는 양과 음 두 종류가 있습니다. 같은 부호끼리는 밀고 다른 부호끼리는 당깁니다. 양성자는 양의 기본 전하 하나, 전자는 음의 기본 전하 하나를 띱니다. 그 단위인 기본 전하량은 다음과 같습니다.

$$e = 1.602176634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$

2019년 국제단위계 개정 이후 이 값은 정의에 따라 정확한 값입니다. 물체의 전하량은 이 값의 정수배이며 1쿨롱은 약 $6.24 \times 10^{18}$개의 기본 전하량에 해당합니다.

전하도 보존됩니다. 풍선을 머리카락에 문질러도 전하가 새로 생기는 것이 아닙니다. 전자가 이동해 한쪽이 얻은 만큼 다른 쪽이 잃습니다. 중성인 물체에도 두 종류의 전하는 같은 양으로 들어 있습니다.

쿨롱 법칙의 공식과 단위

1785년 Charles-Augustin de Coulomb은 전하를 띤 작은 공 두 개 사이의 척력을 비틀림 저울로 측정한 결과를 발표했습니다. APS News의 설명에 따르면 힘은 공의 중심 사이 거리의 제곱에 반비례했습니다.

오늘날에는 점전하 $q_1$과 $q_2$가 거리 $r$만큼 떨어져 있을 때 다음과 같이 씁니다.

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

$F$는 뉴턴, 두 전하량은 쿨롱, 두 중심 사이의 $r$은 미터 단위입니다. 쿨롱 상수 $k$ 덕분에 쿨롱과 미터를 대입한 결과가 뉴턴으로 나옵니다.

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$$

여기서 $\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$는 진공 유전율이며 네 자리로 쓰면 $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$입니다. OpenStax의 쿨롱 법칙 단원도 같은 식을 제시합니다.

절댓값 표시는 이 식이 힘의 크기만 준다는 뜻입니다. 부호로 척력인지 인력인지 정하고 힘은 언제나 두 전하를 잇는 직선을 따라 작용합니다.

거리가 중요한 이유

공식의 $r^2$ 때문에 거리는 힘을 크게 바꿉니다. 간격을 두 배로 하면 힘은 4분의 1, 세 배로 하면 9분의 1이 됩니다.

다음은 유도가 아니라 직관적인 비유입니다. 전하의 영향이 모든 방향으로 고르게 퍼진다고 상상해 보세요. 거리 $r$에서는 넓이가 $4\pi r^2$인 구 표면 전체에 퍼집니다. $r$을 두 배로 하면 구 표면적이 네 배여서 같은 넓이에는 4분의 1만 도달합니다. $4\pi$가 $k$에 들어가는 것도 같은 구와 연결됩니다.

제곱 관계는 벽에 붙은 풍선도 설명합니다. 중성인 벽의 전하가 조금 이동해 풍선과 다른 부호의 전하는 가까워지고 같은 부호는 멀어집니다. 거리에 아주 민감한 힘이므로 가까운 쪽 인력이 먼 쪽 척력보다 커져 풍선이 붙습니다.

풀이 예제: 같은 전하 두 개

작은 구 두 개가 각각 $+2.0\ \mu\mathrm{C}$의 전하를 띠고 $0.30\ \mathrm{m}$ 떨어져 있습니다. 1마이크로쿨롱은 $10^{-6}\ \mathrm{C}$이므로 각 전하에 $2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$를 대입합니다.

$$F = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})^2}{(0.30)^2} = \frac{0.03596}{0.090} \approx 0.40\ \mathrm{N}$$

둘 다 양전하이므로 힘은 척력입니다. 각 구는 서로 반대쪽으로 약 0.40 N의 힘을 받습니다. 질량 40 g 물체의 무게 정도입니다.

간격을 $0.60\ \mathrm{m}$로 늘리면 거리가 두 배이므로 다시 계산하지 않아도 힘은 4분의 1인 $0.10\ \mathrm{N}$이 됩니다.

풀이 예제: 전기력은 얼마나 강할까요?

수소 원자의 전자와 양성자가 보어 반지름만큼 떨어져 있다고 합시다: $r = 5.29 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}$로, 원자 바닥상태에서의 대표적인 간격입니다. 두 전하는 각각 크기가 $e$인 전하를 띱니다.

$$F_e = \frac{(8.99 \times 10^{9})(1.602 \times 10^{-19})^2}{(5.29 \times 10^{-11})^2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$$

같은 두 입자 사이의 중력을 구할 때는 $G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$, $m_e = 9.109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$, $m_p = 1.673 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$를 씁니다.

$$F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2} \approx 3.63 \times 10^{-47}\ \mathrm{N}$$

전기력은 중력보다 약 $2.27 \times 10^{39}$배 큽니다. 둘 다 $1/r^2$에 따라 감소하므로 거리와 무관하게 비율은 같습니다.

그렇다면 중력은 왜 사람을 땅에 붙잡고 달을 궤도에 붙잡을까요? 물질이 거의 완전히 중성이기 때문입니다. 양성자와 전자가 서로 균형을 이루어 거대한 전기적 인력과 척력이 거의 정확히 상쇄됩니다. 질량에는 음수에 해당하는 종류가 없으므로 중력은 상쇄되지 않고 행성의 모든 킬로그램이 인력에 더해집니다.

방향을 정한 뒤 더하세요

전하가 여러 개라면 각 쌍은 다른 전하가 없는 것처럼 상호 작용하고 합력은 그 힘들의 벡터합입니다. 중첩 원리입니다.

전하 세 개를 직선에 놓습니다.

• $q_1 = +3.0\ \mu\mathrm{C}$를 $x = 0$에 둡니다.
• $q_2 = -2.0\ \mu\mathrm{C}$를 $x = 0.20\ \mathrm{m}$에 둡니다.
• $q_3 = +1.0\ \mu\mathrm{C}$를 $x = 0.10\ \mathrm{m}$에 둡니다.

$q_3$에 작용하는 합력을 구해 봅시다. 이 전하는 다른 두 전하에서 각각 $0.10\ \mathrm{m}$ 떨어져 있습니다. 계산 전에 방향부터 정하세요. $q_1$과 $q_3$는 둘 다 양전하라서 $q_1$이 $q_3$를 $+x$ 쪽으로 밀어냅니다. $q_2$는 음전하이므로 $q_3$를 자신 쪽, 역시 $+x$ 쪽으로 당깁니다.

두 결과를 더해야 하므로 $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$로 네 자리까지 유지합니다.

$$F_{13} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(3.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 2.696\ \mathrm{N}$$ $$F_{23} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 1.798\ \mathrm{N}$$

둘 다 같은 방향으로 작용하므로 크기를 더합니다.

$$F_{\mathrm{net}} = 2.696 + 1.798 = 4.494\ \mathrm{N} \approx 4.49\ \mathrm{N}$$

$q_3$에 작용하는 합력은 오른쪽으로 약 4.49 N입니다. 방향은 물리로 결정했고 공식은 크기만 구했습니다.

힘에서 장으로

쿨롱 법칙은 전하 한 쌍을 설명하고 전기장은 한 전하 주변 공간을 설명합니다. 전기장은 작은 양의 시험 전하 $q$가 받는 단위 전하당 힘입니다.

$$E = \frac{F}{q}$$

단위는 N/C이고 양전하가 밀리는 방향을 향합니다. 쿨롱 법칙에서 시험 전하를 약분하면 점전하 $Q$가 만드는 장을 얻습니다.

$$E = k\frac{|Q|}{r^2}$$

거리 $0.30\ \mathrm{m}$에서 전하량이 $2.0\ \mu\mathrm{C}$인 점전하의 전기장은,

$$E = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})}{(0.30)^2} \approx 2.0 \times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$$

전기장은 시험 전하가 있든 없든 존재합니다. 한 번 구하면 $F = qE$로 그곳에 놓은 임의의 전하에 작용하는 힘을 구할 수 있습니다. 또 하나의 $2.0\ \mu\mathrm{C}$ 전하는 첫 예제의 0.40 N을 받습니다. 음전하는 전기장 반대 방향으로 밀립니다.

전기력선은 양전하에서 시작해 음전하에서 끝나거나 무한대로 뻗습니다. 한 점에서 전기장은 그 점을 지나는 선에 접하고, 선이 촘촘할수록 장이 강합니다. 한 점에서 전기장의 방향은 하나이므로 선은 서로 교차하지 않습니다. 단일 전하 주변에서는 모든 구를 지나는 선의 개수가 같아 거리와 함께 밀도가 $1/r^2$로 줄어듭니다. 다시 역제곱입니다.

다음 단계는 단위 전하당 에너지인 전위이며 단위는 볼트입니다. 직렬 및 병렬 회로 가이드의 전압은 전위차입니다.

쿨롱 법칙과 뉴턴 법칙을 나란히 보기

두 식을 비교해 보세요.

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} \qquad F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

두 힘 모두 원인이 되는 두 양의 곱에 비례하고 거리 제곱에 반비례합니다. 부호가 다릅니다. 전하는 두 종류이고 질량은 한 종류이므로 전기력은 밀거나 당길 수 있지만 중력은 당기기만 합니다. 힘의 크기도 위에서 본 약 $10^{39}$배만큼 다릅니다.

뉴턴 운동 법칙에 따라 쿨롱 힘도 다른 힘처럼 가속도를 만듭니다. 제3법칙도 성립합니다. 세 전하 예제에서 $q_3$는 $q_1$을 같은 2.696 N으로 반대로 밉니다. $q_1$의 전하량이 세 배여도 마찬가지입니다. 원운동 가이드에서는 중력이 궤도 운동에 필요한 안쪽 힘을 제공합니다. 수소의 보어 모형에서는 쿨롱 인력이 전자에 그 역할을 합니다.

점수를 잃기 쉬운 실수

• 거리를 제곱하지 않기. 첫 예제에서 0.090 대신 0.30으로 나누면 0.40 N이 아니라 0.12 N이 나옵니다.
• 단위 변환을 빠뜨리기. 마이크로는 $10^{-6}$, 나노는 $10^{-9}$이며 30 cm는 0.30 m입니다. 두 전하량을 마이크로쿨롱 그대로 두면 힘은 $10^{12}$배 크게 나옵니다.
• 부호를 방향으로 읽기. 부호까지 곱하면 $q_2$와 $q_3$의 곱은 음수라서 “왼쪽”처럼 보입니다. 실제 뜻은 인력이고 $q_2$ 쪽은 오른쪽입니다. 왼쪽으로 취급하면 약 4.49 N이 아니라 0.90 N이 나옵니다.
• 방향이 다른 힘의 크기를 무조건 더하기. 같은 방향일 때만 크기를 바로 더할 수 있습니다. 직선에서 반대 방향이라면 빼고 비스듬하다면 성분으로 나눕니다.
• 전기장 E와 전기력 F를 혼동하기. N/C 단위의 전기장은 공간의 한 점에 속하고 뉴턴 단위의 전기력은 특정 전하에 작용합니다.

앞의 두 개는 수학 실수입니다. 사실은 수학 실수인 물리 문제의 오류 가이드에서 접두어와 10의 거듭제곱을 다룹니다.

법칙을 직접 연습해 보세요

Physics Zen의 정전기 주제에는 전하와 쿨롱 법칙, 전기장, 전위의 소주제 세 개가 있습니다. iPhone과 Android에서는 앞의 두 소주제가 무료이며 마지막 전위만 프리미엄이 필요합니다. 정전기는 A-Level, Abitur, Bac 코스에도 나오며 A-Level Physics 가이드, Abitur 가이드, Bac 가이드에서 해당 위치를 설명합니다.

값을 계산하기 전에 각 힘의 방향을 정하세요. 그다음 거리를 확인하세요. 제곱해야 하고 미터 단위여야 합니다. 쿨롱 법칙에서 거리만큼 답을 크게 바꾸는 양은 없습니다.