아르키메데스 원리: 부력을 예제로 이해하기

빈 밀폐 병을 수영장 물속으로 눌러 보세요. 손에 위로 밀어 올리는 힘이 느껴집니다. 놓으면 병이 올라와 일부만 물에 잠긴 채 뜹니다. 이제 같은 수영장에 금속 열쇠를 떨어뜨려 보세요. 열쇠는 가라앉지만 물은 여전히 열쇠를 위로 밉니다. 차이는 위쪽 힘이 물체의 무게와 균형을 이룰 만큼 큰가에 있습니다.

아르키메데스 원리는 이 힘의 크기를 알려 줍니다. 부력은 물체가 밀어낸 유체의 무게와 같습니다. 뜨는 물체, 가라앉는 물체, 물속에 붙잡아 둔 물체 모두에 적용됩니다. 물체의 얼마가 잠겼는지에 따라 계산에 넣는 부피가 달라집니다. 부력 문제의 많은 오답은 일부만 물을 밀어내는데도 물체 전체 부피를 넣어서 생깁니다.

예제에서는 물의 밀도를 $1000\ \mathrm{kg/m^3}$, 중력 가속도를 $9.81\ \mathrm{m/s^2}$로 둡니다. 반올림한 모형 값입니다. 물의 밀도는 균일하고, 물체는 물을 흡수하거나 부피가 변하지 않으며, 놓는 상황을 명시한 경우를 제외하면 정지해 있다고 가정합니다.

부력이 위를 향하는 이유

물은 잠긴 물체의 모든 면을 누릅니다. 압력은 깊을수록 커지므로 물체의 윗면보다 아랫면을 더 세게 밉니다. 단순한 대칭 상황에서는 수평 방향의 힘이 상쇄되어 위쪽 합력만 남습니다. OpenStax의 부력 단원은 압력으로 설명하고 일부 또는 전체가 잠긴 경우의 아르키메데스 원리를 제시합니다.

같은 결과를 다르게 상상할 수도 있습니다. 물체를 머릿속에서 빼내고 밀려난 물을 그 자리에 되돌려 놓으세요. 그 물은 주변 물의 압력으로 받쳐집니다. 다시 물체를 넣어도 주변 물은 그 공간을 차지한 것에 같은 위쪽 지지력을 제공합니다. 따라서 위쪽 힘은 밀려난 물의 무게와 같습니다. 물체 자체의 무게는 그 지지력이 물체를 떠받칠 만큼 충분한지를 결정할 뿐 지지력이 존재하는지를 결정하지 않습니다.

유체의 밀도가 일정하면 밀려난 유체의 질량은 $\rho_{\mathrm{fluid}}V_{\mathrm{displaced}}$입니다. 여기에 $g$를 곱해 무게를 구합니다.

$$F_{\mathrm{b}}=\rho_{\mathrm{fluid}}gV_{\mathrm{displaced}}$$

단위로 식을 확인하세요: $(\mathrm{kg/m^3})(\mathrm{m/s^2})(\mathrm{m^3})=\mathrm{kg\,m/s^2}=\mathrm{N}$. 부력은 킬로그램 단위의 질량이 아니라 뉴턴 단위의 힘입니다. UC Santa Barbara의 아르키메데스 시연은 공식을 보여 주고 물에 잠긴 구를 매단 저울의 감소량과 받아 낸 물을 비교합니다.

공식에 어떤 부피를 넣어야 할까요?

밀려난 유체의 부피를 넣으세요. 유체가 물체를 통과할 수 없다면 물체 중 유체 속에 들어간 부분의 부피와 정확히 같습니다.

• 단단한 물체가 물에 완전히 잠겼다면 밀려난 부피는 물체 전체의 겉부피입니다.
• 물체의 일부가 수면 위에 떠 있다면 밀려난 부피는 잠긴 부분의 부피뿐입니다.
• 물체를 물속으로 내릴 때는 잠기는 부분이 늘어남에 따라 밀려난 부피도 늘어나고 완전히 잠기면 더는 늘어나지 않습니다.

부력 자체를 계산할 때 공식에 물체의 질량이나 밀도를 직접 넣지는 않습니다. 그 양들은 부력과 무게를 비교하거나 떠 있는 위치를 구할 때 필요합니다. 수면선을 그린 뒤 그 아래의 부피만 쓰세요.

풀이 예제: 물속에 매달아 둔 가라앉는 물체

질량이 $1.0\ \mathrm{kg}$이고 겉부피가 $0.5\ \mathrm{L}=0.0005\ \mathrm{m^3}$인 단단한 물체를 생각해 봅시다. 가는 저울 고리에 매달아 물에 완전히 잠기게 하고 바닥에는 닿지 않게 합니다. 공기 중 무게를 $mg$라 부를 때 공기가 주는 작은 부력은 무시합니다.

물체의 무게는 다음과 같습니다.

$$W=mg=(1.0)(9.81)=9.81\ \mathrm{N}$$

물체가 완전히 잠겼으므로 $0.0005\ \mathrm{m^3}$의 물을 밀어냅니다. 부력은 다음과 같습니다.

$$F_{\mathrm{b}}=(1000)(9.81)(0.0005)=4.905\ \mathrm{N}$$

중력은 여전히 $9.81\ \mathrm{N}$으로 아래쪽을 당깁니다. 물은 $4.905\ \mathrm{N}$으로 위로 밀고 저울이 나머지 위쪽 힘을 제공합니다. 따라서 저울의 눈금은,

$$T=W-F_{\mathrm{b}}=9.81-4.905=4.905\ \mathrm{N}$$

이 값이 물속에 매달린 물체의 겉보기 무게입니다. NASA의 부력 수업 자료도 단위계는 다르지만 같은 힘의 뺄셈을 사용합니다. 물체의 질량이 줄어든 것은 아닙니다. 물이 무게의 일부를 받칩니다. 고리를 풀면 무게가 부력보다 크므로 물체는 아래로 가속합니다. 바닥에 닿으면 바닥의 접촉력이 더해지므로 매단 저울의 식으로 전체 힘의 균형을 설명할 수 없습니다.

뜨는지 판단하기 전에 힘부터 그리세요

여기에는 자유 물체도 그리기가 특히 유용합니다. 물체에 작용하는 힘만 그리세요. 매달린 물체에는 아래쪽 무게 $W$, 위쪽 부력 $F_{\mathrm{b}}$, 위쪽 저울 장력 $T$를 그립니다. 정지해 있다면 $T+F_{\mathrm{b}}-W=0$입니다. 저울에서 놓으면 $T$를 지우고 남은 합력에 뉴턴의 제2법칙을 적용하세요.

자유롭게 떠서 정지한 물체에는 받치는 저울도 없고 바닥 접촉도 없습니다. 무게와 부력만 서로 균형을 이룹니다.

$$F_{\mathrm{b}}=W$$

이 등식은 평형의 결과입니다. 물이 물체의 무게를 미리 안다는 뜻은 아닙니다. 물체는 같은 무게의 물을 밀어낼 만큼 잠길 때까지 움직입니다. 짐을 더 실으면 더 깊이 잠기고 덜 실으면 올라옵니다. 뉴턴 운동 법칙 가이드에서는 합력 0은 정지나 일정한 운동을 뜻하고 균형이 깨진 힘은 운동을 바꾼다는 점을 설명합니다.

풀이 예제: 블록은 얼마나 잠길까요?

전체 부피가 $1.0\ \mathrm{L}=0.001\ \mathrm{m^3}$이고 평균 밀도가 $600\ \mathrm{kg/m^3}$인 밀폐 블록을 생각해 봅시다. 질량은 $(600)(0.001)=0.6\ \mathrm{kg}$이므로 무게는,

$$W=(0.6)(9.81)=5.886\ \mathrm{N}$$

자유롭게 뜨게 합니다. 정지했을 때 밀려난 물의 무게는 $5.886\ \mathrm{N}$이어야 합니다. 물의 부피를 구하면,

$$V_{\mathrm{displaced}}=\frac{W}{\rho_{\mathrm{water}}g} =\frac{5.886}{(1000)(9.81)} =0.0006\ \mathrm{m^3}=0.6\ \mathrm{L}$$

따라서 블록 부피 중 $0.6/1.0=0.60$, 즉 **60%**가 물에 잠깁니다. 이 이상적인 모형에서는 나머지 40%가 수면 위에 있습니다. 밀도의 비율로도 곧바로 구할 수 있습니다.

$$\frac{V_{\mathrm{submerged}}}{V_{\mathrm{object}}} =\frac{\rho_{\mathrm{object,average}}}{\rho_{\mathrm{fluid}}} =\frac{600}{1000}=0.60$$

이 지름길은 물체가 자유롭게 떠서 평형 상태이고 유체 밀도가 일정하며 물체 평균 밀도를 전체 겉부피로 계산했다는 가정 아래에서만 유효합니다. 줄에 매달리거나 바닥에 받쳐진 가라앉는 물체에 적용하는 식이 아닙니다. 이 단순한 상황에서 자유롭게 뜨는 평형이라면 그 비율은 1을 넘을 수도 없습니다. 물체의 평균 밀도가 유체보다 크면 떠 있는 채로 같은 무게의 유체를 충분히 밀어낼 수 없기 때문입니다.

이제 같은 블록을 물속에 완전히 밀어 넣고 붙잡아 둡니다. 전체 $1.0\ \mathrm{L}$를 밀어내므로 부력은 $(1000)(9.81)(0.001)=9.81\ \mathrm{N}$이 됩니다. 무게는 여전히 $5.886\ \mathrm{N}$입니다. 붙잡아 두는 힘을 가하기 전에는 알짜 힘이 $9.81-5.886=3.924\ \mathrm{N}$으로 위쪽을 향합니다. 잠긴 상태를 유지하려면 아래로 눌러야 하는 이유입니다. 자유롭게 떠 있을 때 부력을 $9.81\ \mathrm{N}$으로 계산하지 마세요. 그때의 부력은 $5.886\ \mathrm{N}$입니다. $0.6\ \mathrm{L}$만 잠겼기 때문입니다.

Physics Zen의 유체 주제에서는 밀려난 부피와 힘의 균형을 별도로 연습할 수 있습니다. 먼저 부피를 세제곱미터로 바꾼 뒤 힘을 뉴턴 단위로 비교하세요.

짧은 문제 두 개를 풀어 보세요

문제 1. 단단한 물체가 완전히 잠겨 $0.002\ \mathrm{m^3}$의 물을 밀어냅니다. 위의 모형 값을 사용해 부력을 구하세요. 답은 위쪽으로 $(1000)(9.81)(0.002)=19.62\ \mathrm{N}$입니다. 이 단계에서는 물체의 질량이 필요하지 않습니다. 놓았을 때 떠오르는지 판단하려면 질량이 필요합니다.

문제 2. 평균 밀도가 $750\ \mathrm{kg/m^3}$인 밀폐 물체가 모형화한 물에 자유롭게 떠 있습니다. 부피 중 얼마나 잠길까요? 답은 $750/1000=0.75$, 즉 75%입니다. 전체 겉부피가 $2.0\ \mathrm{L}$라면 잠긴 부피는 $1.5\ \mathrm{L}$입니다. 질량으로 확인하면 $(750)(0.002)=1.5\ \mathrm{kg}$으로, 모형화한 물 $1.5\ \mathrm{L}$의 질량과 같습니다.

흔한 실수 찾아내기

일부만 뜬 물체에 전체 부피를 쓰기. 물속에 들어간 부분만 물을 밀어냅니다. 블록 전체라고 가정하지 말고 평형 식으로 잠긴 부피를 구하세요.

가라앉으면 부력이 없다고 생각하기. 가라앉는 물체에도 큰 위쪽 힘이 작용할 수 있습니다. 다만 놓았을 때 무게와 균형을 이루지 못할 뿐입니다.

겉보기 무게를 중력의 변화로 해석하기. 물체의 무게는 여전히 $mg$입니다. 저울 눈금이 줄어드는 이유는 물이 다른 위쪽 힘을 제공하기 때문입니다.

리터와 세제곱미터를 섞기. 1리터는 $0.001\ \mathrm{m^3}$입니다. 세제곱미터당 밀도를 곱하기 전에 변환하세요.

가정 밖에서 뜨는 물체의 밀도비를 쓰기. 아래로 눌러 놓거나 바닥이 받치는 물체, 깊이에 따라 밀도가 변하는 유체라면 실제 힘의 균형을 써야 합니다. 그림을 그리고 밀려난 부피부터 다시 확인하세요.

자주 묻는 질문

부력은 깊어질수록 커지나요?

밀도가 일정한 이 모형에서는 단단한 물체가 이미 완전히 잠긴 상태로 더 깊이 내려가도 밀려난 부피는 변하지 않으므로 $\rho gV$도 같습니다. 물체가 물속에 들어가는 동안에는 잠긴 부피가 커져 부력도 커집니다. 압축될 수 있는 물체나 깊이에 따라 밀도가 변하는 유체처럼 조건이 다르면 다른 분석이 필요합니다.

무거운 배는 뜨고 작은 금속 열쇠는 왜 가라앉나요?

무게만으로 결정되지 않습니다. 배의 선체는 내부 공간을 감싸고 있어 그 공간까지 포함한 평균 밀도가 충분히 낮습니다. 그래서 수면이 갑판 위로 올라오기 전에 배의 무게와 같은 무게의 물을 밀어낼 수 있습니다. 단단한 열쇠의 평균 밀도는 물보다 커서 완전히 잠겨도 부력이 무게를 받칠 만큼 크지 않습니다.

밀려난 물은 넘쳐흐른 물과 같은가요?

밀려난 부피는 물체 때문에 물이 차지할 수 없게 된 공간의 부피입니다. 넘침 용기에서는 같은 양의 물이 밖으로 흐를 수 있습니다. 수영장에서는 대신 수면이 올라갑니다. 부력은 흘러나온 물을 받아 냈는지가 아니라 밀려난 유체의 무게에 달려 있습니다.