전자기 유도 이해하기: 패러데이 법칙 풀이 예제

자석을 도선 코일에 가까이 가져가면 연결된 계기의 바늘이 움직일 수 있습니다. 자석을 멈추면 바늘의 움직임이 사라지고 멀리 가져가면 반대쪽으로 움직입니다. 자석이 멈춰 있는 동안에도 코일은 여전히 자기장 속에 있습니다. 바뀐 것은 코일을 지나는 자기 선속입니다.

전자기 유도는 선속의 변화를 유도 기전력으로 바꿉니다. 패러데이 법칙은 그 크기를, 렌츠 법칙은 방향을 알려 줍니다. 두 법칙을 쓰기 전에 세 질문을 나누면 쉽습니다. 고리를 무엇이 통과하나요? 지나가는 양은 어떻게 변하나요? 전류가 돌 수 있는 닫힌 경로가 있나요?

자기 선속은 면적을 지나는 장을 셉니다

도선 고리 하나에 평평한 막을 펼쳐 놓았다고 상상해 보세요. 자기 선속은 그 막을 지나는 자기장을 방향까지 고려해 나타냅니다. 일반적인 정의는,

$$\Phi_B=\int_A\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf n}\,dA.$$

$\mathbf B$는 자기장, $dA$는 막의 작은 면적, $\hat{\mathbf n}$은 막에 수직으로 선택한 단위 법선 벡터입니다. 내적은 막에 수직인 자기장 성분만 센다는 뜻입니다. 법선이 고리의 어느 쪽을 향할지 정하고 끝까지 유지하세요. 고리가 회전하면 법선도 함께 회전합니다. 법선을 뒤집으면 선속과 기전력의 부호는 뒤집히지만 실제 전류 방향은 바뀌지 않습니다.

넓이 $A$인 평평한 고리가 크기 $B$의 균일한 자기장에 있다면 적분은 다음처럼 간단해집니다.

$$\Phi_B=BA\cos\theta,$$

$\theta$는 자기장과 표면의 법선 사이의 각도입니다. 자기장이 고리를 정면으로 통과하면 $\theta=0^\circ$이고 선속 크기는 $BA$입니다. 자기장이 고리의 평면을 따라 놓이면 $\theta=90^\circ$이고 선속은 0입니다. 자기장과 고리 평면 사이의 각도가 주어졌다면 변환하지 않고 그대로 넣지 마세요.

SI 단위는 웨버(Wb)이며 $1\ \mathrm{Wb}=1\ \mathrm{T\,m^2}$입니다. 선속은 한 고리에 대한 양입니다. 코일이 같은 선속을 받는 동일한 감김 $N$개로 이루어졌다면 전체 선속 쇄교는 $N\Phi_B$입니다. OpenStax의 패러데이 법칙 설명은 일반적인 선속 정의와 균일한 장에서의 지름길을 모두 제시합니다.

첫 번째 자기 선속 예제

넓이 $0.040\ \mathrm{m^2}$인 평평한 고리가 균일한 $0.30\ \mathrm T$ 자기장에 있다고 합시다. 자기장과 고리의 법선 사이 각도는 $60^\circ$입니다. 선속이 양수가 되도록 법선을 선택하면,

$$\Phi_B=(0.30)(0.040)\cos60^\circ =0.0060\ \mathrm{Wb}.$$

같은 고리의 법선이 자기장을 향하게 돌리면 장의 세기와 면적은 그대로인데 선속은 $0.012\ \mathrm{Wb}$가 됩니다. 방향이 바뀌면 일정한 자기장에서도 기전력이 유도될 수 있습니다.

패러데이 법칙은 변화율을 측정합니다

각 감김이 같은 선속을 받는 동일한 감김 $N$개에 대한 패러데이 법칙은,

$$\mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

기전력 $\mathcal E$의 단위는 볼트입니다. 1초당 1웨버가 1볼트입니다. 선속이 더 빠르게 변하면 크기가 커지고 감김 수에도 비례합니다. 선택한 법선은 오른손 법칙에 따라 고리를 도는 양의 방향도 정합니다. 엄지를 법선 방향으로 세우면 구부린 손가락이 양의 순환 방향입니다. 마이너스 부호는 렌츠 법칙의 방향을 담고 있으며 크기까지 음수로 보고하라는 뜻이 아닙니다.

처음과 마지막 선속, 그 사이 시간만 주어진다면 평균 유도 기전력을 구하세요.

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}}=-N\frac{\Phi_{B,\mathrm{final}}-\Phi_{B,\mathrm{initial}}}{\Delta t}.$$

선속이 일정한 비율로 변하지 않는다면 이 평균으로 각 순간의 기전력을 알 수는 없습니다. 자기장 자체의 변화는 선속을 바꾸는 한 방법일 뿐입니다. $B$가 일정해도 고리 면적이나 각도가 바뀔 수 있습니다. 고리 밖 다른 곳의 자기장이 변한다는 사실만으로는 부족하며 선택한 고리를 지나는 선속이 변해야 합니다.

풀이 예제: 평균 유도 기전력

코일은 80번 감겨 있고 각 감김의 면적은 $0.025\ \mathrm{m^2}$입니다. 감김에 수직인 균일한 자기장이 $0.10\ \mathrm T$에서 $0.35\ \mathrm T$로 $0.20\ \mathrm s$ 동안 커집니다. 자기장 방향을 양의 법선으로 잡습니다. 감김 하나당 선속 변화는,

$$\Delta\Phi_B=A\Delta B =(0.025)(0.35-0.10) =0.00625\ \mathrm{Wb}.$$

따라서 평균 유도 기전력은,

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}} =-80\frac{0.00625}{0.20} =-2.5\ \mathrm V.$$

크기는 $2.5\ \mathrm V$입니다. 음의 부호는 선택한 양의 법선과 고리 방향을 기준으로 유도 기전력이 반대 방향으로 순환한다는 뜻입니다. 자기장이 일정한 비율로 증가하지 않았다면 $2.5\ \mathrm V$는 여전히 그 구간의 평균 크기지만 순간 값은 다를 수 있습니다.

렌츠 법칙: 자기장이 아닌 변화를 방해합니다

시계 방향인지 반시계 방향인지 정하기 전에 원래 선속이 증가하는지 감소하는지 확인하세요. 회로가 닫혀 있다면 유도 전류는 그 변화를 방해하는 자기장을 만듭니다. OpenStax의 렌츠 법칙 단원은 이 방향 규칙을 에너지 보존과 연결합니다.

종이 위에 평평하게 놓인 고리를 생각해 보세요. 자기장은 종이 안쪽을 향하고 더 강해집니다. 안쪽 방향의 선속이 증가합니다. 이를 방해하려면 고리가 만드는 자기장은 종이 바깥쪽을 향해야 합니다. 오른손 엄지를 종이 밖으로 세우고 전류 방향으로 손가락을 감으면 위에서 볼 때 전류는 반시계 방향입니다.

이번에는 자기장이 종이 안쪽을 향하는 상태를 유지하되 약해지게 합니다. 선속 감소를 방해하는 유도 자기장은 종이 안쪽을 향합니다. 오른손 법칙을 쓰면 시계 방향 전류입니다. 원래 자기장은 두 경우 모두 같은 방향입니다. 유도 방향은 무엇이 변하는지가 결정합니다.

움직이는 자석에도 같은 절차를 사용합니다. 고리를 향한 자석 극과 바라보는 쪽을 정하고 선속 변화를 구한 뒤 오른손 법칙을 쓰세요. 어느 쪽에서 보는지 밝히지 않고 “시계 방향”이라고만 하면 답이 불완전합니다.

순환 전류가 없어도 기전력은 존재할 수 있습니다

유도 기전력은 고리 전체에 전하를 움직이려는 효과입니다. 계속 도는 전도 전류를 유지하려면 닫힌 도체 경로가 필요합니다. 도선을 끊어도 변하는 선속은 기전력을 만들지만 전하는 틈을 넘어 계속 순환할 수 없습니다. 고리가 닫혀 있고 저항을 안다면 단순한 저항 모형에서 전류 크기는 $I=|\mathcal E|/R$입니다. 유도 기전력만으로 전류를 정할 수는 없고 저항도 중요합니다. 직렬·병렬 회로 가이드에서 회로 계산을 다룹니다.

발전기는 자기장에 대해 코일을 돌려 각도와 선속을 바꾸는 이 원리를 이용합니다. 변하지 않는 균일한 자기장 속에 정지한 고리는 자기장이 통과하더라도 선속이 일정해 패러데이 법칙상 유도 기전력이 생기지 않습니다. 움직이는 도체라면 회로를 더 주의 깊게 분석해야 할 수 있지만 여기 예제에는 닫힌 고리의 선속 규칙이 알맞은 출발점입니다.

유도 기전력과 정지한 전하 문제의 정전기적 전위차를 혼동하지 마세요. 둘 다 볼트로 재지만 자기 선속 변화는 닫힌 경로를 따라 전하를 움직일 수 있습니다. 정적인 장과 비교하려면 전위와 전기장의 차이를 보세요.

풀이가 있는 연습 문제 세 개

1. 일정한 자기장에서 변하는 면적. 직사각형 도체 고리 한 개가 균일한 $0.40\ \mathrm T$ 자기장에 수직으로 놓였습니다. 둘러싼 면적이 $0.030\ \mathrm{m^2}$에서 $0.010\ \mathrm{m^2}$로 $0.50\ \mathrm s$ 동안 줄어듭니다. 평균 기전력의 크기는 얼마인가요? 자기장 방향을 법선으로 잡으세요. 선속 변화는 $0.40(0.010-0.030)=-0.0080\ \mathrm{Wb}$입니다. 따라서 $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=0.0080/0.50=0.016\ \mathrm V$입니다. 자기장은 일정하고 면적 변화가 원인이었습니다.

2. 코일 회전. 면적 $0.010\ \mathrm{m^2}$인 코일 20감김이 균일한 $0.50\ \mathrm T$ 자기장 속에 있습니다. $0.10\ \mathrm s$ 동안 법선이 자기장과 나란한 상태에서 수직인 상태로 회전합니다. 평균 기전력의 크기를 구하세요. 감김 하나의 선속은 $BA=0.0050\ \mathrm{Wb}$에서 0으로 바뀝니다. 따라서 $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=20(0.0050)/0.10=1.0\ \mathrm V$입니다. 평균값을 구할 때 회전 속도가 일정할 필요는 없습니다.

3. 방향과 전류. 위에서 볼 때 닫힌 5감김 코일을 통과하는 자기장이 종이 바깥쪽을 향하며 점점 강해집니다. 유도 전류는 어느 방향인가요? 바깥쪽 선속이 증가하므로 유도 자기장은 안쪽을 향해야 합니다. 오른손 법칙에 따라 위에서 보면 시계 방향입니다. 코일을 열면 유도 기전력은 여전히 존재하지만 끊긴 부분을 통과하는 순환 전류는 없습니다.

자기 선속과 유도 기전력을 연습하려면 Physics Zen의 자기와 전자기 유도 주제를 사용하세요. 전자기 유도는 A-Level Physics와 독일 Abitur에 모두 나옵니다. A-Level Physics 대비 가이드와 Abitur Physik 가이드에서 장과 전기에 관한 다른 주제와의 관계를 설명합니다.