운동량을 직관적으로 이해하기: 충돌에서도 보존되는 두 번째 계산법

쇼핑 카트와 짐을 가득 실은 이삿짐차를 같은 걷는 속력으로 주차장에서 밀어 보세요. 그다음 각각을 멈추려고 해 보세요. 속력은 같지만 멈추는 데 드는 어려움은 전혀 다릅니다. 뉴턴 법칙으로 매 순간 필요한 힘을 구하고, 에너지로 멈추는 데 필요한 일을 구할 수는 있습니다. 하지만 둘 다 몸으로 느끼는 한 가지, 없애야 할 운동이 얼마나 많은지를 곧바로 표현하지는 못합니다.

물리에서는 그 양을 운동량이라고 부릅니다. 운동량은 역학의 두 번째 중요한 수지 장부입니다. 일과 에너지 글에서는 첫 번째 장부를 소개했습니다. 두 시점 사이에서 균형을 맞추는 스칼라량의 장부입니다. 운동량은 같은 성질을 가진 벡터량의 장부이며 에너지 장부에는 없는 큰 장점이 있습니다. 충돌이 거칠고 복잡하며 에너지를 낭비해도 균형이 맞습니다. 찌그러지는 차, 붙는 점토, 블록에 박히는 총알에서는 운동 에너지 장부가 맞지 않아도 운동량 장부는 맞습니다.

이 글은 운동학, 뉴턴 운동 법칙, 일과 에너지에 이은 역학 시리즈의 네 번째 글입니다. 운동량이 무엇을 나타내는지, 충격량이 왜 뉴턴 제2법칙을 충실하게 드러내는지, 충돌에서 전체 운동량이 왜 보존되는지, 세 종류의 충돌이 어떻게 다른지, 문제를 풀 때 어느 장부를 열어야 하는지를 다룹니다.

운동량은 물체가 지닌 운동입니다

운동량은 질량에 속도를 곱한 값입니다.

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

단위는 kg·m/s입니다. 운동량은 벡터인데 이 점이 중요합니다. 물체가 움직이는 방향을 향하므로 반대 방향의 운동량은 서로 상쇄됩니다. 2 kg의 공이 오른쪽으로 3 m/s로 움직이면 운동량은 $+6$이고 같은 공이 왼쪽으로 움직이면 $-6$입니다. 이런 공 두 개가 서로 마주 다가오면 둘 다 분명히 움직이는데도 전체 운동량은 0입니다.

카트와 이삿짐차의 속력이 같으므로 운동량의 차이는 질량에서만 나고 이삿짐차의 운동량은 100배 큽니다. 멈추려 할 때 느끼는 차이가 바로 그 배수입니다. 운동량은 “운동이 얼마나 많은가”를 나타내는 정직한 척도입니다. 질량이나 속도를 두 배로 늘리면 운동량도 두 배가 됩니다. 속력이 제곱으로 들어가는 운동 에너지와 비교하면 운동량과 에너지가 왜 헷갈리는지 벌써 드러납니다.

충격량은 뉴턴 제2법칙을 쓰는 방식입니다

뉴턴은 $F = ma$라고 쓰지 않았습니다. 힘을 운동량의 변화율이라고 설명했습니다. 현대 표기로는 다음과 같습니다.

$$\vec{F}_{\text{net}} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$$

양변에 시간을 곱하면 충격량-운동량 정리가 됩니다.

$$\vec{F}_{\text{net}}\,\Delta t = \Delta \vec{p}$$

왼쪽의 힘과 작용 시간을 곱한 값이 충격량이며 단위는 N·s입니다. 오른쪽은 그 힘이 일으킨 운동량 변화입니다. 질량이 일정하면 $F = ma$를 다시 쓴 것일 뿐입니다. $\Delta p = m\Delta v$이고 $\Delta v / \Delta t = a$이기 때문입니다. 그러나 충격량으로 쓰면 가속도 형태에서 잘 보이지 않는 사실이 드러납니다. 같은 운동량 변화를 짧은 시간 동안 큰 힘으로 만들 수도 있고 긴 시간 동안 작은 힘으로 만들 수도 있습니다.

모든 안전장치에는 이 원리가 들어 있습니다. 15 m/s로 달리는 차가 멈추면 무엇과 충돌하든 운동량을 모두 잃어야 합니다. 단단한 벽은 수백분의 1초 만에 차를 멈추게 하므로 힘이 엄청나게 큽니다. 차체의 충격 흡수 구역은 정지 시간을 수십분의 1초로 늘려 같은 비율로 힘을 줄입니다. 에어백은 머리에 대해 같은 일을 합니다. 크리켓 공을 받을 때 손을 뒤로 빼는 것, 점프 후 무릎을 굽혀 착지하는 것, 체육관의 푹신한 바닥도 같은 원리입니다. $\Delta p$는 바꿀 수 없으므로 $\Delta t$를 늘려 $F$를 줄입니다.

힘-시간 그래프에서 충격량은 곡선 아래 넓이이며, 이를 이용해 변하는 힘을 다룹니다. 충돌력이 솟았다 내려가면 그 부분의 넓이가 충격량이고, 평균 힘은 그 넓이를 충돌 시간으로 나눈 값입니다.

전체 운동량이 보존되는 이유

물체 두 개를 충돌시켜 봅시다. 접촉하는 동안 A는 B를 밀고 B는 A를 반대로 밉니다. 뉴턴의 제3법칙에 따라 두 힘은 크기가 같고 방향이 반대입니다. 두 물체의 접촉은 같은 순간에 시작하고 끝나므로 힘이 작용한 시간도 정확히 같습니다. 따라서 A가 받은 충격량은 B가 받은 충격량의 음수이고 A의 운동량 변화는 B의 운동량 변화의 음수입니다.

$$\Delta \vec{p}_A = -\Delta \vec{p}_B \quad\Rightarrow\quad \vec{p}_A + \vec{p}_B = \text{constant}$$

한 물체가 잃은 운동량만큼 다른 물체가 얻으므로 전체는 변하지 않습니다. 이것이 운동량 보존입니다. 이 결론에는 충돌이 얼마나 세게 일어났는지, 물체가 튕겼는지 붙었는지, 에너지가 얼마만큼 열과 소리로 바뀌었는지가 필요하지 않았다는 점에 주목하세요. 내부의 힘은 항상 쌍으로 상쇄되므로 계가 내부에서 무엇을 하든 계의 전체 운동량은 변하지 않습니다.

전체 운동량을 바꿀 수 있는 것은 외력뿐입니다. 바닥과의 마찰력, 중력, 벽이 가하는 힘이 그렇습니다. 운동량 문제에 “충돌하는 동안”이라는 표현이 나오는 이유입니다. 접촉 시간이 아주 짧아 외력이 의미 있는 충격량을 줄 시간이 없으므로 충돌 직전과 직후의 전체 운동량이 같습니다. 발사대 위에 정지한 폭죽의 운동량은 0이고 터진 직후 파편이 모두 움직여도 전체 운동량은 0입니다. 파편의 운동량이 서로 상쇄되기 때문입니다.

세 종류의 충돌

세 경우 모두 운동량은 보존됩니다. 다른 점은 운동 에너지가 어떻게 되는가입니다. 충돌 문제에서 구별해야 할 것은 바로 이 질문입니다.

완전 비탄성 충돌: 서로 붙습니다. 움직이는 철도 차량이 정지한 차량과 부딪쳐 연결되는 경우, 총알이 블록에 박히는 경우, 두 차가 엉겨 붙는 경우가 있습니다. 충돌 후에는 두 질량을 합친 한 물체가 하나의 속도로 움직이며 운동량 보존으로 즉시 구할 수 있습니다.

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v_f$$

충돌 후의 운동 에너지는 항상 전보다 작고, 운동량을 보존하면서 가능한 가장 큰 에너지 손실이 생깁니다. 에너지는 어디로 갔을까요? 변형, 열, 소리로 바뀌었습니다. 에너지 글에서 마찰이 에너지를 옮겼던 $f d$ 항과 같습니다. 문제에서 두 물체가 붙는다고 하면 운동량을 써야 합니다. $K_1 = K_2$는 거짓이므로 쓰지 마세요.

탄성 충돌: 손실 없이 튕깁니다. 당구공, 강철 구슬, 상당히 좋은 근사로 기체 분자가 예입니다. 운동량과 운동 에너지가 모두 보존되어 식 두 개로 충돌 후의 미지 속도 두 개를 구할 수 있습니다. 가장 간단한 특별한 경우는 질량이 같은 물체의 1차원 충돌입니다. 움직이던 공이 완전히 멈추고 정지했던 공은 처음 공의 속력으로 떠납니다. 당구를 치는 사람이라면 익숙한 장면입니다. 일반적인 정면 탄성 충돌에서는 접근할 때의 상대 속력과 멀어질 때의 상대 속력이 같습니다. 이 지름길을 쓰면 복잡한 2차 방정식을 피할 수 있습니다.

비탄성 충돌이지만 완전 비탄성은 아닌 경우: 튕기면서 일부를 잃습니다. 실제 충돌의 대부분이 여기에 속합니다. 떨어뜨렸을 때 원래 높이까지 튀어 오르지 않는 공, 차들이 충돌 후 떨어져 나가는 교통사고, 테니스 서브가 예입니다. 운동량은 보존되고 운동 에너지는 일부 줄어듭니다. 얼마나 줄어드는지는 문제에서 주거나 구하라고 합니다. 운동량만으로는 정보가 하나 부족합니다.

세 경우를 기억하는 방법은 이렇습니다. 운동량 보존 식은 항상 쓰고, 에너지 보존 식은 탄성이라고 명시된 경우에만 추가합니다. 물체가 붙는다고 할 때는 절대 추가하지 않습니다.

두 가지 풀이 예제

수레가 정지한 수레에 부딪쳐 붙는 경우. 3 kg 수레가 4 m/s로 달리다가 정지한 1 kg 수레에 부딪쳐 둘이 연결됩니다. 충돌 전 운동량은 $3 \times 4 + 1 \times 0 = 12$입니다. 충돌 후 4 kg이 된 두 수레는 $12 / 4 = 3\ \mathrm{m/s}$로 움직입니다. 충돌 전 운동 에너지는 $\tfrac{1}{2}(3)(16) = 24\ \mathrm{J}$이고 충돌 후에는 $\tfrac{1}{2}(4)(9) = 18\ \mathrm{J}$입니다. 6 J이 열과 연결 장치의 소리로 바뀌었습니다. 운동량은 완전히 균형을 이루고 에너지는 4분의 1 줄었습니다. 비탄성 충돌이 수치로는 이런 모습입니다.

반동. 질량 60 kg인 스케이트 선수가 얼음 위에 정지해 있다가 2 kg 공을 앞으로 15 m/s로 던집니다. 처음 전체 운동량은 0이므로 나중에 선수의 운동량은 공의 운동량을 상쇄해야 합니다: $60\,v = -2 \times 15$. 따라서 $v = -0.5\ \mathrm{m/s}$로 1초에 0.5미터씩 뒤로 움직입니다. 다른 사람이 선수를 민 것은 아닙니다. 선수가 공을 밀었고 나머지는 제3법칙이 설명합니다. 로켓, 총, 소방 호스의 반동도 숫자만 다른 같은 계산입니다.

운동량과 에너지 중 어느 장부를 열까요?

보존되는 두 양은 서로 다른 질문에 답합니다. 학생들이 흔히 하는 실수는 맞는 도구 대신 익숙한 도구를 고르는 것입니다.

운동량 장부를 열 때:

• 물체 두 개 이상이 상호 작용하고 바로 그 직후의 속도를 알고 싶을 때.
• 문제에 붙다, 연결되다, 박히다, 폭발하다, 반동하다, 충돌하다 같은 표현이 나올 때.
• 무언가 찌그러지거나 붙어서 운동 에너지가 분명히 보존되지 않을 때.
• 시간과 속도 변화로 힘을 구하거나 반대로 힘과 시간으로 속도 변화를 구할 때.

에너지 장부를 열 때:

• 물체 하나가 높이를 바꾸거나 어떤 경로를 따라 움직이고 다른 위치에서의 속력을 구할 때.
• 문제가 탄성 충돌이라고 하고 두 번째 식이 필요할 때.
• 알려진 거리에서 작용하는 마찰력이 유일한 손실일 때.

두 장부는 자주 함께 쓰입니다. 탄동 진자가 대표적인 연결 사례입니다. 총알이 매달린 블록에 박힐 때는 붙는 충돌이므로 운동량을 쓰고, 그 후 블록이 어느 높이까지 올라가는지를 구할 때는 하나의 물체가 중력에 맞서 올라가므로 에너지를 씁니다. 순서를 바꾸거나 박히는 단계에 에너지를 쓰면 답이 크게 틀어집니다. 어려운 것은 법칙 자체가 아닙니다. 현재 문제의 단계가 어느 장부에 해당하는지 알아보는 것입니다.

실수가 생기는 곳

운동량을 스칼라량으로 취급하기. 정면 충돌에서 한 속도의 부호를 빼먹으면 답이 완전히 바뀝니다. 양의 방향을 정하고 모든 속도에 부호를 적은 뒤 최종 답의 부호가 물리적으로 말이 되는지 확인하세요.

붙는 충돌에서 운동 에너지를 보존하기. 물체가 연결된다는 말은 에너지가 손실된다는 뜻입니다. $K_{\text{before}} = K_{\text{after}}$라고 쓰면 모순이나 잘못된 속력이 나옵니다. 운동량만 쓰세요.

충격량이 힘과 시간의 곱이라는 점을 잊기. 충격량은 힘만이 아닙니다. 오래 작용하는 작은 힘이 짧게 작용하는 큰 힘보다 더 큰 충격량을 줄 수 있습니다. 중요한 양은 힘-시간 그래프 아래 넓이입니다.

외력이 작용하는 긴 시간 전체에 운동량 보존을 적용하기. 차가 언덕을 오르는 동안 차의 운동량은 보존되지 않습니다. 그동안 중력과 마찰력이 충격량을 주기 때문입니다. 보존 법칙은 짧은 상호 작용이나 알짜 외력이 없는 계에 적용합니다.

충돌 후 어떤 질량이 움직이는지 혼동하기. 완전 비탄성 충돌에서는 합친 질량이 움직입니다. 탄성 충돌에서는 각 물체가 독립적으로 남아 서로 다른 속도로 움직일 수 있습니다. 문제에서 “붙는다”는 말을 확인하세요.

운동량을 배우는 이유

운동학은 운동을 설명하고, 뉴턴 법칙은 그 원인을 설명했으며, 일과 에너지는 지나간 경로를 계산하지 않아도 되게 했습니다. 운동량은 충돌의 자세한 과정을 건너뛰게 해 줍니다. 충돌 중 힘이나 지속 시간, 접촉면의 모양을 알 필요가 없습니다. 충돌 전에 들어온 운동량을 알면 충돌 후 전체 운동량은 같은 수입니다. 거친 충돌에서도 살아남는 장부입니다.

다음 주제로도 이어집니다. 각운동량은 회전하는 물체에 대한 같은 생각이며 자이로스코프가 똑바로 서고 피겨 스케이팅 선수가 팔을 모을 때 더 빨리 도는 이유와 연결됩니다. 제2법칙의 충격량-운동량 형태는 $F = ma$가 그대로 성립하지 않는 상대성 이론에서도 이어집니다. 처음에는 뉴턴의 제3법칙에서 나온 것처럼 보였던 보존 법칙 자체는 더 깊은 이유, 물리 법칙이 이곳에서나 왼쪽으로 1미터 떨어진 곳에서나 같다는 사실에서 나옵니다. 물리의 모든 보존 법칙에는 바탕이 되는 대칭성이 있으며 운동량의 대칭성이 가장 단순합니다.

이 주제를 익히는 방법도 물리를 효과적으로 공부하는 법의 흐름과 같습니다. 양의 방향을 정하고 충돌 전후의 운동량을 부호와 함께 적고, 문제 표현을 보고 에너지도 보존되는지 결정한 뒤 풀고 부호와 극한을 확인하세요. Physics Zen의 운동량과 충돌 주제에서는 처음 네 소주제가 무료이고 마지막 질량중심만 프리미엄이 필요합니다. 이 주제에서는 충격량과 평균 힘, 물체가 붙는 충돌과 반동, 질량이 같은 경우에서 시작하는 탄성 충돌을 새로운 값으로 반복 연습합니다. 특정 풀이 답이 아니라 두 장부를 고르는 습관을 익히게 됩니다.