돌림힘을 직관적으로 이해하기: 지레, 각도, 균형

문 손잡이 대신 경첩 바로 옆을 밀어 보고, 같은 힘으로 손잡이를 밀어 보세요. 힘은 같지만 문이 돌려지는 정도는 매우 다릅니다. 힘은 미는 작용이나 당기는 작용을 나타냅니다. 돌림힘은 그 힘이 선택한 회전축을 기준으로 물체를 얼마나 돌리려 하는지 나타냅니다.

답을 정하는 질문은 세 가지입니다. 회전축이 어디인가요? 힘을 어디에 가하나요? 힘은 어느 방향을 향하나요? 이 질문부터 시작하면 돌림힘 공식은 그림을 간결하게 나타낸 것이 됩니다.

힘이 물체를 돌리려면 회전축과 거리가 필요합니다

수평으로 놓인 렌치를 위에서 내려다본다고 상상해 보세요. 왼쪽 끝은 볼트를 물고 있습니다. 오른쪽 끝을 손잡이에 수직인 위쪽 방향으로 당깁니다. 볼트가 회전축이고 손잡이 길이 덕분에 같은 힘으로 더 잘 돌릴 수 있습니다.

힘은 그대로 두고 손을 볼트 쪽으로 절반 가까이 옮기면 돌리는 효과도 절반으로 줄어듭니다. 손잡이를 따라 볼트 쪽이나 반대쪽으로 곧바로 당기면 돌리는 효과가 사라집니다. 힘의 작용선이 회전축을 지나기 때문입니다.

마지막 표현이 유용합니다. 힘 화살표를 양쪽으로 연장해 가상의 직선을 그리세요. 이것이 작용선입니다. 회전축에서 작용선까지의 수직 거리가 지레팔이며 모멘트 팔이라고도 합니다.

같은 힘이라면 이 수직 거리가 클수록 돌림힘도 커집니다. 도구가 길어도 힘의 방향이 그 길이를 효과적으로 이용하지 못하면 도움이 되지 않습니다.

서로 같은 결과를 주는 두 돌림힘 공식

고정된 회전축에 수직인 평면에서 힘이 작용할 때 돌림힘의 크기는 다음과 같습니다.

$$\tau = rF\sin\theta$$

$r$은 회전축에서 힘을 가하는 점까지의 거리, $F$는 힘의 크기, $\theta$는 바깥쪽을 향한 위치 벡터와 힘 벡터 사이의 각도입니다.

수직 지레팔 $d_\perp$를 사용해도 됩니다.

$$d_\perp = r\sin\theta$$ $$\tau = Fd_\perp$$

두 식은 같은 계산입니다. 하나는 위치 벡터 전체의 길이와 각도를 쓰고 다른 하나는 수직 거리 자체를 씁니다. 이미 수직 지레팔을 구했다면 사인을 다시 곱하지 마세요.

OpenStax의 돌림힘 단원에는 벡터 식 $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$가 나옵니다. 평면 그림에서는 보통 벡터곱을 성분별로 계산하는 대신 크기와 시계 방향 또는 반시계 방향 부호를 쓰면 됩니다.

단위는 뉴턴미터이며 $\mathrm{N\,m}$로 씁니다. 줄과 차원이 같지만 돌림힘은 에너지가 아닙니다. 돌림힘의 단위를 뉴턴미터로 써 두면 두 양을 구별하기 쉽습니다.

풀이 예제: 수직으로 당길 때

볼트 중심에서 손까지 렌치의 길이가 $0.25\ \mathrm{m}$입니다. 손잡이에 수직으로 $40\ \mathrm{N}$의 힘을 가합니다.

$\theta = 90^\circ$이므로 사인은 1입니다.

$$\tau = (0.25)(40)\sin 90^\circ = 10\ \mathrm{N\,m}$$

같은 힘을 $0.10\ \mathrm{m}$ 지점에 가하면,

$$\tau = (0.10)(40) = 4\ \mathrm{N\,m}$$

계산 전에도 결과를 설명할 수 있습니다. 첫 번째 위치가 회전축에서 2.5배 멀어서 돌림힘도 2.5배입니다.

문 손잡이가 경첩에서 멀리 있는 이유입니다. 일상적인 설계에 이 식이 드러납니다. 그렇다고 힘이 크기만 하면 항상 더 많이 회전한다는 뜻은 아닙니다. 거리와 방향도 중요합니다.

풀이 예제: 비스듬히 당길 때

같은 $0.25\ \mathrm{m}$ 렌치에 같은 $40\ \mathrm{N}$의 힘을 가하되, 손잡이의 바깥쪽 방향과 $30^\circ$를 이루게 당깁니다.

$$\tau = (0.25)(40)\sin 30^\circ = 5\ \mathrm{N\,m}$$

손잡이에 수직인 힘 성분만 회전에 기여합니다.

$$F_\perp = 40\sin 30^\circ = 20\ \mathrm{N}$$

이 성분에 손잡이 길이를 곱해도 답은 같습니다: $0.25(20) = 5\ \mathrm{N\,m}$.

손잡이를 따라 작용하는 성분도 물체나 지지대에 힘을 줄 수 있습니다. 다만 볼트에 대한 돌림힘은 0입니다. 돌림힘 0이 힘 0을 뜻하지는 않습니다.

각도가 어떻게 표시됐는지 항상 확인하세요. 그림에 손잡이와 수직인 선에 대한 각도가 나와 있다면 그 각은 곧바로 $\theta$가 아닙니다. 여각을 쓰거나 코사인을 쓸 수도 있습니다. 어떤 벡터 사이의 각도인지 가리지 않고 “항상 사인”이라고 외우면 식은 맞아도 답은 틀립니다.

시계 방향과 반시계 방향의 돌림힘은 서로 반대입니다

평면 문제에서는 한 회전 방향을 양으로 정하세요. 흔히 반시계 방향을 양, 시계 방향을 음으로 잡습니다. 끝까지 일관되게 쓰기만 하면 반대로 정해도 됩니다.

중앙에 회전축이 있는 수평 막대에 힘 두 개가 작용한다고 합시다.

• 아래 방향으로 $30\ \mathrm{N}$의 힘이 회전축에서 왼쪽으로 $0.40\ \mathrm{m}$ 떨어진 곳에 작용합니다.
• 아래 방향으로 $20\ \mathrm{N}$의 힘이 회전축에서 오른쪽으로 $0.30\ \mathrm{m}$ 떨어진 곳에 작용합니다.

왼쪽 힘은 막대를 반시계 방향으로, 오른쪽 힘은 시계 방향으로 돌리려 합니다. 부호를 붙인 돌림힘은 다음과 같습니다.

$$\tau_\mathrm{left} = +(30)(0.40) = +12\ \mathrm{N\,m}$$ $$\tau_\mathrm{right} = -(20)(0.30) = -6\ \mathrm{N\,m}$$

따라서,

$$\tau_\mathrm{net} = 12 - 6 = +6\ \mathrm{N\,m}$$

알짜 회전 효과는 반시계 방향입니다. 힘이 위인지 아래인지만 보고 부호를 정하지 마세요. 여기서는 두 힘이 모두 아래를 향하지만 회전축의 반대편에서 작용해 막대를 서로 반대 방향으로 돌립니다.

균형에는 힘과 돌림힘의 두 조건이 필요합니다

정지한 막대는 병진 평형과 회전 평형을 모두 만족해야 합니다.

$$\sum \mathbf{F} = 0 \qquad \sum \tau = 0$$

중앙에 지지축이 있는 가벼운 수평 막대를 사용합니다. $3.0\ \mathrm{kg}$ 추를 왼쪽으로 $0.40\ \mathrm{m}$ 떨어진 곳에 매답니다. 균형을 맞추려면 $2.0\ \mathrm{kg}$ 추를 오른쪽 어디에 달아야 할까요?

회전축에 대한 돌림힘을 계산하면,

$$(3.0g)(0.40) - (2.0g)d = 0$$

두 무게에는 같은 중력 가속도가 들어가므로 $g$가 약분됩니다.

$$d = \frac{3.0(0.40)}{2.0} = 0.60\ \mathrm{m}$$

질량이 작은 추에는 더 긴 지레팔이 필요합니다. 지지대는 두 추의 무게 합과 같은 위쪽 힘도 가해야 합니다. 약 $49.1\ \mathrm{N}$이며 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$를 사용할 때의 값입니다.

지지대의 힘은 회전축을 지나므로 그 축에 대한 돌림힘은 0입니다. 이 지점을 회전축으로 고르면 지지대의 힘이 없다고 가정하지 않으면서도 돌림힘 계산을 간단히 할 수 있습니다.

막대 자체의 무게가 중요하다면 질량 중심에 작용하는 힘으로 넣으세요. 균일한 막대를 중앙에서 받치면 그 지지점에 대한 중력의 돌림힘은 0입니다. 지지점이 중앙에서 벗어나면 결과가 달라집니다. 힘이 빠지는 일이 없도록 자유 물체도부터 그리세요.

돌림힘은 회전 속력이 아니라 회전 변화를 만듭니다

관성 모멘트 $I$가 일정한 강체가 고정축을 중심으로 돌 때 뉴턴 제2법칙의 회전 운동 형태는 다음과 같습니다.

$$\sum \tau = I\alpha$$

각가속도 $\alpha$는 각속도가 얼마나 빠르게 변하는지 나타냅니다. 같은 알짜 돌림힘이라도 관성 모멘트가 크면 각가속도는 작아집니다.

예를 들어 알짜 돌림힘 $6\ \mathrm{N\,m}$가 $I = 2\ \mathrm{kg\,m^2}$인 물체에 작용하면,

$$\alpha = \frac{6}{2} = 3\ \mathrm{rad/s^2}$$

이 가정 아래에서 알짜 돌림힘이 0이면 각가속도도 0입니다. 이미 회전 중인 물체는 일정한 각속도로 계속 돌 수 있습니다. 뉴턴 법칙과 비교해 보세요. 합력이 0이라고 속도가 0이어야 하는 것도 아닙니다.

돌림힘은 원운동에서 다룬 안쪽 방향 힘과도 다릅니다. 중심을 향하는 힘은 그 중심에 대한 돌림힘이 0이지만 속도 방향을 바꾸고 물체를 원 궤도에 붙잡아 둘 수 있습니다.

믿고 쓸 수 있는 돌림힘 점검표

회전축을 정하고 모든 외력을 그리세요. 각 힘의 작용선을 표시한 뒤 수직 지레팔을 재거나 $r\sin\theta$를 구하세요. 곱하기 전에 센티미터를 미터로 바꾸세요. 각 힘이 물체를 어느 방향으로 돌리려 하는지 보고 부호를 붙인 다음 돌림힘을 더하세요.

평형 문제에서는 힘과 돌림힘을 모두 확인하세요. 각가속도를 구할 때는 $\sum\tau = I\alpha$를 쓰기 전에 고정축이라는 가정을 확인하세요. 마지막으로 극한을 시험해 보세요. 회전축을 지나는 힘의 돌림힘은 반드시 0이어야 합니다.

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