電位與電場的區別：高度、坡度和電荷

山上兩點可以都很高，而中間的地面幾乎平坦。第三點可能低得多，卻位於陡坡。高度與坡度描述的是同一地形的不同性質。

電位與電場的關係類似。電位給每個位置一個值。電場告訴你移動時這個值怎樣變化，包括它下降最快的方向。電位高不代表電場一定強。

本文只討論靜電學，即電荷和電場不隨時間變化的情況。只有在這種情況下，單一的電位分佈才能完整給出電場。

四個物理量，兩組對應關係

先看某一個電荷所受的量。電場力 $\mathbf{F}$作用於它，而它在電荷分佈中具有電位能 $U$。

把兩者分別除以試探電荷 $q$：

$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q}, \qquad V=\frac{U}{q}$$

電場 $\mathbf{E}$和電位 $V$描述的是周圍環境。換一個足夠小的試探電荷，所受力和能量會變；只要試探電荷沒有明顯擾動源電荷，環境本身不會變。

電場是向量，方向也是答案的一部分。電位是標量，有正負值但沒有方向。OpenStax 對電位的介紹解釋了能量與單位電荷能量的區別。

我們的庫侖定律指南解釋源電荷如何產生力和電場。電位提供了處理同一問題的另一條路徑。

電壓比較兩個位置

電壓就是電位差：

$$\Delta V=V_B-V_A$$

電荷從 A 移到 B 時，電位能的變化是：

$$\Delta U=q\Delta V$$

設電荷量為 $+3\ \mathrm{\mu C}$的電荷從 10 V 移到 4 V。電位變化為 $4-10=-6\ \mathrm{V}$，因此：

$$\Delta U=(3\times10^{-6})(-6) =-18\times10^{-6}\ \mathrm{J}$$

它損失了 18 微焦耳的電位能。電場對它做了 18 微焦耳的正功。若只有電場力做功，它的動能增加同樣多。功與能量指南使用相同的能量賬本。

另選零點不會改變任何一個結果。若把兩個電位都提高 100 V，電荷就從 110 V 移到 104 V，仍下降 6 V。“這個點為 10 V”這樣的說法始終依賴於參考點。

電場是電位的下坡斜率

沿一個座標方向，靜電關係為：

$$E_x=-\frac{dV}{dx}$$

負號給出方向：電場指向電位降低處。德州大學 Richard Fitzpatrick 的講義從功與能量推導了這個式子。不用微積分也能理解均勻電場：把電位變化除以距離，再反轉符號即可。

假設電位從 $x=0$處的 18 V，以恆定變化率降到 $x=0.04\ \mathrm{m}$處的 6 V：

$$E_x=-\frac{6-18}{0.04}=+300\ \mathrm{V/m}$$

正號表示電場沿 x 軸正方向。同樣的 4 cm 內如果只下降 3 V，電場就只有 75 V/m。重要的是每米下降多少。

簡寫 $E=|\Delta V|/d$要求電場均勻，且距離沿電場方向測量。大平行板間遠離邊緣的地方可以這樣近似。在點電荷周圍，電場隨距離變化，用一段有限距離上的電位差除以距離，得到的是該路徑上的平均值，不是每一點的電場。

電位隨位置變化時，OpenStax 的由電位求電場章節給出導數形式及其三維推廣。

負電荷使受力方向反轉

電場方向由正試探電荷定義。任意電荷所受的力是：

$$\mathbf{F}=q\mathbf{E}$$

當 $q$為負，受力方向反轉。在上面 300 V/m 的電場中，電荷量為 $-2\ \mathrm{\mu C}$的電荷受到：

$$F_x=(-2\times10^{-6})(300) =-6\times10^{-4}\ \mathrm{N}$$

電場力指向 x 軸負方向，也就是電位更高的地方。但這不表示電位能上升：$V$增加時乘以負電荷量，$U$反而下降。

還要準確區分運動方向。力決定加速度，不一定決定粒子已經在朝哪個方向運動。負電荷即使朝較低電位方向發射，也可以一邊減速一邊繼續向那邊移動。“負電荷上坡”描述的是受力方向，或從靜止釋放時的初始加速度，不代表所有可能軌跡。

電位為零與電場為零是兩回事

在直線上放兩個大小相同的正點電荷。中點處兩個電場大小相等、方向相反，合電場為零。如果把無窮遠處定為零電位，每個電荷貢獻的電位都是正的，會相加。儘管電場為零，這裡的電位仍為正。

再把其中一個源電荷換成大小相同的負電荷。中點處正負電位抵消。但兩個電場都從正電荷指向負電荷，因此相加而不是相互抵消。

這兩個例子揭示常見錯誤：把電場大小像標量電位一樣直接相加。合成電場要考慮方向，疊加電位則要保留代數符號。

某點的電場為零，也不意味著周圍區域的電位處處相同。它可能是變化地形中的一個駐點，就像山坡上局部平坦的一小處。

等勢面如同等高線

在等高線圖上，同一條線的點高度相同；在等勢面上，各點的電位相同。

沿這個面移動電荷，電位能的變化為零。即便那裡存在電場，電場也不會對這種移動做功。在電場不為零的地方，它與等勢面垂直。

等勢線間隔較密，只有當相鄰線代表相同的電位差時才說明電場更強。如果圖上的電壓間隔不同，應先讀標籤，再比較線距。

根據問題選擇公式

要求力？ 先求電荷所在處的電場，再乘上帶符號的電荷量，並寫明方向。

要求能量或速度？ 由電位差求 $\Delta U=q\Delta V$。若其他力也做功，在把能量變化轉成速度之前要把那些功算上。

給出電位圖表？ 讀出斜率，求沿圖表座標方向的電場分量。圖表位置較高不代表斜率也較大。

處理電路？ 追蹤節點之間的電位差。串並聯電路指南解釋了為什麼沿一條路徑的電壓變化會相加，而並聯支路共享同一對端點。

在 Physics Zen 練習時，可在題旁畫四欄：電場、力、電位、能量。代入數值前，在各欄寫上對應單位。這樣區分後，符號錯誤或漏掉的電荷量更容易看出來。