直觀理解庫侖定律：電荷、力與電場

在頭髮上摩擦氣球，它會黏在牆上。用塑膠梳子梳乾頭髮，它也能從桌上吸起紙屑。梳子與紙之間看不到連接，卻有力量隔空拉動；梳子越近，這股力越強。

這是電場力。庫侖定律能量化它怎樣隨電荷量變化，尤其怎樣隨距離變化。下面的例題假設真空或空氣中靜止的小電荷。

電荷可以計數

電荷有正、負兩種。同號互斥，異號相吸。質子帶一個單位的正電荷，電子帶一個單位的負電荷，這個單位是元電荷：

$$e = 1.602176634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$

自2019 年國際單位制修訂後，該數值按定義為精確值。任何物體的電荷量都是它的整數倍；一庫侖約相當於 $6.24 \times 10^{18}$個元電荷。

電荷也守恆。氣球與頭髮摩擦不會創造電荷，而是讓電子轉移；一方得到多少，另一方就失去多少。中性物體仍有電荷，只是正負兩種數量相等。

庫侖定律：公式與單位

1785 年，Charles-Augustin de Coulomb 發表了用扭秤測得的兩個小帶電球之間的斥力結果。APS News 的回顧指出，力與兩球中心間距離的平方成反比。

現代寫法中，點電荷 $q_1$和 $q_2$相距 $r$時：

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

$F$用牛頓，兩電荷量用庫侖，中心到中心的 $r$用米。庫侖常數 $k$使庫侖和米代入後得到牛頓：

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$$

這裡 $\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$是真空介電常數；保留四位數時，$k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$。OpenStax 的庫侖定律章節給出同樣的形式。

絕對值表示公式只求大小。電荷的正負決定相斥還是相吸，力始終沿連接兩電荷的直線作用。

距離為什麼影響這麼大

公式中的 $r^2$讓距離成為最敏感的量。間距翻倍，力變四分之一；變為三倍，力變九分之一。

下面是幫助理解的直覺，不是嚴格推導。想象電荷的影響均勻向四面八方擴散。距離 $r$處，它分佈在面積為 $4\pi r^2$的球面上。$r$翻倍，球面面積變四倍，每小塊分到的影響只有原來的四分之一。$4\pi$也出現在 $k$中，與同一個球面有關。

平方關係也解釋氣球為什麼能貼牆。中性牆壁的電荷稍微移動，異號電荷移近氣球，同號電荷移遠。距離如此重要，近處的吸引勝過遠處的排斥，於是氣球黏住。

例題：兩個相同電荷

兩個小球各帶 $+2.0\ \mu\mathrm{C}$，相距 $0.30\ \mathrm{m}$。一微庫侖等於 $10^{-6}\ \mathrm{C}$，因此每個電荷代入 $2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$：

$$F = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})^2}{(0.30)^2} = \frac{0.03596}{0.090} \approx 0.40\ \mathrm{N}$$

兩個電荷均為正，所以是斥力。每個球都受約 0.40 N、沿直線遠離另一個球的力，大致等於一個 40 克物體的重量。

把它們移到 $0.60\ \mathrm{m}$處，距離翻倍，不必重算也能知道力變為四分之一，即 $0.10\ \mathrm{N}$。

例題：電場力到底有多強？

看氫原子中的電子和質子，間距取一個玻爾半徑：$r = 5.29 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}$，這是原子基態的典型間距。兩者的電荷量大小都是 $e$：

$$F_e = \frac{(8.99 \times 10^{9})(1.602 \times 10^{-19})^2}{(5.29 \times 10^{-11})^2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$$

計算同一對粒子之間的重力，要用 $G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$、$m_e = 9.109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$及 $m_p = 1.673 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$：

$$F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2} \approx 3.63 \times 10^{-47}\ \mathrm{N}$$

電場力約為重力的 $2.27 \times 10^{39}$倍。兩者都按 $1/r^2$下降，因此任意間距下該比值都一樣。

那為什麼重力還能把你留在地面、讓月亮留在軌道？因為物質幾乎完全電中性。質子與電子彼此匹配，巨大的電吸引和排斥幾乎完全抵消。質量沒有負的對應種類，重力不會這樣抵消；行星上的每一公斤都會增加引力。

先定方向，再相加

多個電荷存在時，每一對如同其他電荷不存在那樣相互作用，合力是這些力的向量和。這叫疊加原理。

把三個電荷放在同一直線：

• $q_1 = +3.0\ \mu\mathrm{C}$位於 $x = 0$。
• $q_2 = -2.0\ \mu\mathrm{C}$位於 $x = 0.20\ \mathrm{m}$。
• $q_3 = +1.0\ \mu\mathrm{C}$位於 $x = 0.10\ \mathrm{m}$。

求 $q_3$受到的合力，它與其他兩個電荷各相距 $0.10\ \mathrm{m}$。動筆算數前先定方向：$q_1$和 $q_3$都為正，所以 $q_1$把 $q_3$推向 $+x$；$q_2$為負，會把 $q_3$吸向自己，同樣是 $+x$方向。

兩力要相加，所以取四位數，使用 $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$：

$$F_{13} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(3.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 2.696\ \mathrm{N}$$ $$F_{23} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 1.798\ \mathrm{N}$$

兩者同向，因此大小相加：

$$F_{\mathrm{net}} = 2.696 + 1.798 = 4.494\ \mathrm{N} \approx 4.49\ \mathrm{N}$$

$q_3$受到向右約 4.49 N 的合力。方向靠物理判斷，公式只提供大小。

從力走向場

庫侖定律描述一對電荷，電場則描述其中一個周圍的空間。它定義為小的正試探電荷 $q$所受的單位電荷量的力：

$$E = \frac{F}{q}$$

單位牛頓每庫侖，方向是正電荷會被推動的方向。從庫侖定律中除掉試探電荷，可得點電荷 $Q$的電場：

$$E = k\frac{|Q|}{r^2}$$

距離 $0.30\ \mathrm{m}$處，若場源電荷為 $2.0\ \mu\mathrm{C}$：

$$E = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})}{(0.30)^2} \approx 2.0 \times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$$

不放試探電荷，電場也存在。求出一次後，$F = qE$即可計算放在那裡的任何電荷受力：另一個 $2.0\ \mu\mathrm{C}$電荷就會受到第一個例題中的 0.40 N。負電荷的受力方向與電場相反。

電場線從正電荷出發，終止於負電荷或延伸到無窮遠。某點電場沿透過該點的場線切線方向，場線越密，電場越強。場線絕不相交，因為每一點電場只有一個方向。單個電荷周圍各球面穿過的場線數相同，密度按 $1/r^2$下降，又是平方反比。

下一步是電位，即單位電荷的能量，單位伏特。串並聯電路指南中的電壓就是電位差。

並排比較庫侖定律與牛頓引力

兩條定律為：

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} \qquad F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

兩者都隨兩個源量的乘積增加，隨距離平方增加而減弱。區別是符號：電荷有正負兩種，質量只有一種，所以電場力可以吸引或排斥，重力只有吸引。強度相差上面算得的大約 $10^{39}$倍。

牛頓定律把庫侖力像其他力一樣轉成加速度，第三定律也成立：三電荷例題中，$q_3$對 $q_1$的反推力同樣是 2.696 N，儘管 $q_1$的電荷量是它的三倍。圓周運動指南中重力提供軌道向心力；在氫原子的玻爾模型裡，電子所需向內力由庫侖吸引提供。

容易失分的錯誤

• 忘記距離要平方。 第一個例題若除以 0.30 而不是 0.090，會得到 0.12 N 而不是 0.40 N。
• 跳過單位換算。 微表示 $10^{-6}$，奈表示 $10^{-9}$，30 cm 等於 0.30 m。兩電荷都不從微庫侖換算，算出的力會大 $10^{12}$倍。
• 把符號當方向。 帶符號相乘時 $q_2$與 $q_3$的積為負，看著像“向左”。其實它表示吸引，而朝 $q_2$吸引的方向是向右。誤判為左會得到約 0.90 N，而不是 4.49 N。
• 不同向的力只按大小相加。 只有同向才能直接相加。直線反向的力相減，斜向力要拆成分量。
• 混淆 E 與 F。 N/C 單位的電場屬於空間某點，牛頓單位的力則屬於特定電荷。

前兩項屬於數學失誤；我們的其實是數學失誤的物理錯誤指南講到詞頭和 10 的冪。

把定律變成練習

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先定每個力的方向再計算。然後檢查距離：要平方，要以米為單位，而且庫侖定律中沒有其他量能像距離這樣顯著改變答案。