薄透鏡公式例題：實像、虛像與放大率

把物體放在會聚透鏡前，並逐漸向鏡片移動。在某些位置，你能把螢幕放在另一側，接到清晰的像。把物體移到焦距以內，螢幕就接不到像了；但透過透鏡看，物體可能顯得更大。薄透鏡公式可以描述兩種情況，前提是符號能正確表示光線實際相交或看似相交的那一側。

算術並不長。大多數錯誤更早就出現了：沒有畫草圖、把虛像的像距標成正值，或把放大率的符號當成大小。下面從頭到尾採用同一套明確的約定，並用光線圖檢查每個答案。

先畫透鏡，再決定正負號

畫一條水平的主光軸和一條鉛直的透鏡線，把物體放在左側。以下情形中，光從左向右傳播。在透鏡兩側各標出一個離透鏡 $|f|$ 的焦點。這張簡單草圖能讓你解出結果後找到像該在的位置。

對會聚透鏡來說，從物體頂端平行於主軸入射的光線，出射後朝遠側焦點前進。穿過透鏡中心的光線在薄透鏡模型中近似直行。兩條出射光線的交點是實像。如果出射光線彼此分開，就用虛線向後延長；反向延長線的交點是虛像，那裡沒有真實的出射光線匯合。發散透鏡則使平行入射光線散開，彷彿它來自近側焦點。

這些光線是理想化的。真實透鏡有厚度，實際成像可能偏離薄透鏡、近軸近似。這裡的公式與光線圖假設光線接近主軸且角度較小。OpenStax 的薄透鏡章節列出了本文使用的公式、光線作圖方法和符號約定。

公式與一套符號約定

令 $d_o$ 為物體到透鏡的距離，$d_i$ 為像距，$f$ 為焦距，則

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.$$

三個距離必須使用相同單位。如果全部用公分，結果就是公分；全部用米，結果就是米。求像距時，先整理公式，再代數字：

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}, \qquad d_i=\frac{fd_o}{d_o-f}.$$

對位於入射光一側的普通實物，我們採用實為正約定：

有些課程使用另一套帶符號位置的笛卡爾座標約定。計算途中不要混用不同約定。如果課程採用另一條形式的公式，就始終按其定義使用。物理問題不變：光線往哪走、在哪裡相交、像是正立還是倒立？

例題：會聚透鏡形成實像

把物體放在會聚透鏡前 $30\ \mathrm{cm}$ 處，透鏡的 $f=+10\ \mathrm{cm}$。物體距透鏡超過一個焦距，遠側形成實像是合理的預測。代入 $d_o=+30\ \mathrm{cm}$：

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30} =\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

因此 $d_i=+15\ \mathrm{cm}$。正號表示像在透鏡遠側。回代檢查：$1/10=1/30+1/15$。在草圖上，平行光線折向遠側焦點，中心光線在那裡與它相交。像是實像，所以把理想螢幕放在該平面，可接住會聚的光線。

這個像更小而且倒立。要算出而不是猜出這些性質，需要用放大率。

放大率：分清朝向與大小

在同一約定下，帶符號的橫向放大率為

$$m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},$$

其中 $h_o$ 和 $h_i$ 分別是從主軸量起的物高與像高。負 $m$ 表示倒立；正 $m$ 表示正立。絕對值 $|m|$ 是像高相對於物高的倍數，不是長度，也沒有單位。

對第一片透鏡，$m=-15/30=-0.50$。若物體高 $4.0\ \mathrm{cm}$，就有 $h_i=(-0.50)(4.0)=-2.0\ \mathrm{cm}$。負號說明物體頂端的像在主軸下方，而像高的大小為 $2.0\ \mathrm{cm}$。不要把帶負號的高度說成實際尺寸為負。

例題：放大的虛像

仍用會聚透鏡，令 $f=+12\ \mathrm{cm}$，但物體只放在 $8.0\ \mathrm{cm}$ 處。因為 $d_o<f$，出射光線發散，其反向延長線在物側相交。計算前先預測 $d_i<0$：

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{12}-\frac{1}{8} =-\frac{1}{24}\ \mathrm{cm^{-1}}, \qquad d_i=-24\ \mathrm{cm}.$$

虛像位於距透鏡 $24\ \mathrm{cm}$ 的物側。放大率為

$$m=-\frac{-24}{8.0}=+3.0.$$

因此在這個理想模型中，像正立，高度為物高的三倍。把螢幕放在虛像位置，接不到形成該像的匯聚光束；這個位置來自對出射光線的反向延長。這正是看見虛像與把實像投到螢幕上的關鍵區別。

例題：發散透鏡

現在換成 $f=-15\ \mathrm{cm}$ 的發散透鏡，把一個實物放在鏡前 $30\ \mathrm{cm}$ 處。焦距的負號必不可少；使用 $+15\ \mathrm{cm}$ 就是在描述另一種透鏡。

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{-15}-\frac{1}{30} =-\frac{3}{30}=-\frac{1}{10}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

所以 $d_i=-10\ \mathrm{cm}$，是物側的虛像。放大率 $m=-(-10)/30=+1/3$，表示正立且高度是物高的三分之一。在草圖中，出射光線散開，其反向延長線在透鏡與近側焦點之間相交。檢查時仍帶著符號：$-1/15=1/30-1/10$。

在這一模型裡，對實物和簡單發散透鏡，可以預期虛、正立、縮小的像。上述計算用一組具體距離展示了這一規律；負 $f$ 是產生這一結果的關鍵。

物體在焦平面時會怎樣？

在整理後的公式 $d_i=fd_o/(d_o-f)$ 中，當實物趨近會聚透鏡的焦距，分母趨向零。從 $f$ 外側靠近時，$d_i$ 變得很大且為正；從內側靠近時，它變得很大且為負。恰在 $d_o=f$ 時，$1/d_i=0$：理想模型中的出射光線相互平行，因而沒有有限的像距可報。

不要把 $d_o=f$ 代入分式，然後把計算器的除零錯誤當成物理結果。應畫出平行光線，並說明在理想模型中像位於無窮遠處。

先試三題，再核答案

1. 實像和像高。 會聚透鏡的 $f=+20\ \mathrm{cm}$，一個高 $3.0\ \mathrm{cm}$ 的實物距它 $60\ \mathrm{cm}$。求像距和像高。計算：$1/d_i=1/20-1/60=1/30\ \mathrm{cm^{-1}}$，所以 $d_i=+30\ \mathrm{cm}$。接著 $m=-30/60=-0.50$、$h_i=-1.5\ \mathrm{cm}$。實像倒立，高度是物高的一半。

2. 焦距以內。 會聚透鏡的 $f=+9.0\ \mathrm{cm}$，實物位於 $d_o=+6.0\ \mathrm{cm}$。求像與放大率。計算：$1/d_i=1/9-1/6=-1/18\ \mathrm{cm^{-1}}$，所以 $d_i=-18\ \mathrm{cm}$。再算 $m=-(-18)/6.0=+3.0$。像是虛像、正立且放大。

3. 發散透鏡。 實物距一片透鏡 $24\ \mathrm{cm}$，透鏡的 $f=-12\ \mathrm{cm}$。求像距和像的類別。計算：$1/d_i=-1/12-1/24=-1/8\ \mathrm{cm^{-1}}$，所以 $d_i=-8.0\ \mathrm{cm}$。像在物側，因此是虛像。另有 $m=-(-8)/24=+1/3$，所以它正立且縮小。

透鏡的作用始於光的傳播方向改變。我們的司乃耳定律指南解釋單個介面的折射。要練習透鏡計算和判斷像的型別，請進入 光學。A-Level 物理、Abitur 物理及Bac 物理指南則把光學放入更完整的複習計劃。