電磁感應：法拉第定律完整例題

把磁鐵推向導線線圈，與線圈相連的儀表指針可能偏轉。磁鐵停下，偏轉消失；把它拉遠，偏轉方向反轉。磁鐵靜止時線圈並沒有離開磁場，改變的是穿過線圈的磁通量。

電磁感應把磁通量的變化變成電動勢，通常簡稱 emf。法拉第定律給出感應電動勢的大小，冷次定律給出方向。使用兩者前，分開問三個問題更容易：什麼穿過迴路？穿過的量如何變化？電流是否有閉合路徑？

磁通量計算穿過面積的磁場

想象在一圈導線上繃一張平面薄膜。磁通量計量穿過這張膜的磁場，同時考慮方向。一般定義為：

$$\Phi_B=\int_A\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf n}\,dA.$$

$\mathbf B$表示磁場，$dA$是膜上一小塊面積，$\hat{\mathbf n}$是選定的、垂直膜面的單位法線向量。點積表示只計垂直膜面的磁場分量。先選法線朝迴路哪一側，再始終保持一致；若迴路旋轉，法線也跟著旋轉。反轉法線會反轉磁通量和電動勢的符號，卻不改變實際電流方向。

對於面積 $A$的平面迴路，處於強度 $B$的均勻磁場中，積分化為：

$$\Phi_B=BA\cos\theta,$$

其中 $\theta$是磁場與表面法線之間的角度。磁場垂直穿過迴路時，$\theta=0^\circ$，磁通量大小為 $BA$；磁場沿迴路平面時，$\theta=90^\circ$，磁通量為零。若已知磁場與平面的夾角，要先換算，不能直接代入。

SI 單位是韋伯 Wb：$1\ \mathrm{Wb}=1\ \mathrm{T\,m^2}$。磁通量針對單個迴路。若線圈有 $N$個相同匝，每匝透過的磁通量相同，總磁通鏈為 $N\Phi_B$。OpenStax 對法拉第定律的介紹同時給出一般定義與均勻磁場下的簡化式。

第一個磁通量例題

設平面迴路面積為 $0.040\ \mathrm{m^2}$，置於均勻的 $0.30\ \mathrm T$磁場中。磁場與迴路法線夾角 $60^\circ$。選擇法線使磁通量為正：

$$\Phi_B=(0.30)(0.040)\cos60^\circ =0.0060\ \mathrm{Wb}.$$

若把同一迴路的法線轉到與磁場同向，即使磁場強度和面積都不變，磁通量也成為 $0.012\ \mathrm{Wb}$。改變朝向可以在恆定磁場中感應電動勢。

法拉第定律測量變化率

若 $N$匝相同，每匝磁通量相同，法拉第定律為：

$$\mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

電動勢 $\mathcal E$用伏特計；一韋伯每秒等於一伏特。磁通量變得越快，電動勢越大，並與匝數成正比。選定的法線還透過右手法則規定繞回路的正方向：拇指沿法線，彎曲的手指指向正環繞方向。負號體現冷次定律，不表示大小一定要報負數。

若題目只給某段時間的初始與末磁通量，應求平均感應電動勢：

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}}=-N\frac{\Phi_{B,\mathrm{final}}-\Phi_{B,\mathrm{initial}}}{\Delta t}.$$

除非磁通量以恆定速率變化，平均值無法告訴你每個瞬間的電動勢。改變磁場只是改變磁通量的一種方式；即使 $B$恆定，迴路面積或角度也可以變化。迴路外某處的磁場改變本身並不足夠，必須是穿過所選迴路的磁通量改變。

例題：平均感應電動勢

線圈有 80 匝，每匝圍出 $0.025\ \mathrm{m^2}$面積。垂直線圈的均勻磁場從 $0.10\ \mathrm T$增至 $0.35\ \mathrm T$，用時 $0.20\ \mathrm s$。沿磁場選擇正法線。每一匝的磁通量變化為：

$$\Delta\Phi_B=A\Delta B =(0.025)(0.35-0.10) =0.00625\ \mathrm{Wb}.$$

平均電動勢因此為：

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}} =-80\frac{0.00625}{0.20} =-2.5\ \mathrm V.$$

它的大小是 $2.5\ \mathrm V$。負號表示相對於所選正法線和正環繞方向，感應電動勢沿反方向繞回路。若磁場不是以固定速率增強，$2.5\ \mathrm V$仍是該時間段的平均大小，但瞬時值可能不同。

冷次定律：反對變化，不是反對磁場

選擇順時針或逆時針前，先判斷原來的磁通量是增加還是減少。若迴路閉合，感應電流產生一股阻礙變化的磁場。OpenStax 的冷次定律章節把方向規律與能量守恆連結起來。

設迴路平放在紙上。磁場指向紙面裡側，並越來越強，向裡的磁通量正在增加。迴路的感應磁場必須指向紙面外側以阻礙增加。右手拇指指向紙外，手指沿電流方向彎曲：從上方看，電流為逆時針。

再讓原磁場仍向紙裡，但逐漸減弱。為阻礙磁通量流失，感應磁場應向紙裡側。右手法則給出順時針電流。原磁場方向在兩種情況相同，決定感應方向的是變化。

移動磁鐵也按同樣步驟。明確哪一極朝向迴路、從哪一側觀察，判斷磁通量怎樣變，再用右手法則。若不說觀察方向，只答“順時針”並不完整。

有電動勢也可能沒有環流

感應電動勢試圖驅動電荷沿迴路運動。要保持持續環繞的傳導電流，需要閉合導電路徑。剪斷導線後，磁通量變化依然產生感應電動勢，但電荷不能跨越缺口持續循環。若迴路閉合且電阻已知，簡單電阻模型給出電流大小 $I=|\mathcal E|/R$。光知道電動勢還不能定電流，電阻也重要。我們的串並聯電路指南解釋電路部分。

發電機利用這一原理：讓線圈相對於磁場轉動，改變角度進而改變磁通量。靜止迴路放在不變的均勻磁場裡，即使有磁場穿過，磁通量也恆定，依法拉第定律就沒有感應電動勢。移動導體可能需要更仔細的電路分析，但這裡的例題以閉合迴路磁通量規律為適當起點。

不要把感應電動勢與靜止電荷問題中的靜電位差混淆。兩者都以伏特計，但變化的磁通量可以驅動電荷繞閉合路徑流動。若要比較靜電場，可看電位與電場的區別。

三道帶解答的練習題

1. 磁場恆定，面積變化。 單匝矩形導電迴路垂直於均勻的 $0.40\ \mathrm T$磁場。圍成的面積從 $0.030\ \mathrm{m^2}$降到 $0.010\ \mathrm{m^2}$，用時 $0.50\ \mathrm s$。平均感應電動勢大小多少？法線沿磁場。磁通量變化為 $0.40(0.010-0.030)=-0.0080\ \mathrm{Wb}$，因此 $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=0.0080/0.50=0.016\ \mathrm V$。磁場始終不變，是面積變化起作用。

2. 轉動線圈。 一隻 20 匝、面積 $0.010\ \mathrm{m^2}$的線圈置於均勻的 $0.50\ \mathrm T$磁場中。經過 $0.10\ \mathrm s$，法線從與磁場平行轉為垂直。求平均感應電動勢大小。每匝磁通量從 $BA=0.0050\ \mathrm{Wb}$降至零，所以 $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=20(0.0050)/0.10=1.0\ \mathrm V$。求這個平均值無需假設轉速恆定。

3. 方向與電流。 從上方看，穿過閉合 5 匝線圈的磁場指向紙面外側且逐漸增強。感應電流朝哪邊？向外磁通量增加，感應磁場必須指向紙裡。按右手法則，從上方看電流為順時針。若斷開線圈，仍有感應電動勢，但斷口處沒有持續環流。

可在 磁學與電磁感應練習磁通量與感應電動勢。電磁感應同時出現在 A-Level 物理和德國 Abitur 中；我們的A-Level 物理備考指南與Abitur 物理指南說明它與其他電場、磁場主題的關係。