抛体运动公式：平地与悬崖的完整例题

球以 20 m/s、仰角 30 度从地面射出，落在约 35 m 外。用相同方式从 15 m 高的悬崖抛出，落点约在 53 m 外。不少学生在悬崖题也算出 35 m，因为没检查射程公式的前提就直接使用。抛体公式本身不难，真正的能力是判断眼前的发射条件允许使用哪条式子。

本文只采用一套符号约定，用表列出每个方程的适用条件，然后分别从平地和悬崖计算同一发射，另解一个从桌面水平飞出的球。所有数字取 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$，忽略空气阻力。

把发射分成两种运动

先画图。标出发射点、地面，以及初速度 $v_0$相对水平线仰角 $\theta$的箭头。原点放在发射点，规定向上为正、向前为正。随后分解初速度：

$$v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.$$

之后就是共享同一时钟的两道一维题。水平上球离手后不再受推力，因此 $a_x=0$，$v_x$保持为 $v_{0x}$。竖直方向重力产生恒定的 $a_y=-g$。OpenStax 的抛体运动章节正是基于忽略空气阻力时两个垂直方向的运动相互独立。AP Physics 1 课程框架也一句话指出：抛体是二维运动，一个方向加速度为零，另一个方向加速度非零且恒定（College Board，AP Physics 1 CED，主题 1.5）。

若连分解这一步都不稳，我们的运动学指南解释每个轴要使用的一维匀加速计算。

哪条方程在这里有效？

此模型中的任何抛体都可用四条通式描述。另有从它们导出的三条捷径，每条都带有容易忘记的条件。

OpenStax 明确指出两个限制：落地高度不同时不能用飞行时间捷径，射程公式也仅适用于从水平地面发射并在同一高度落地。最大高度式在悬崖题中仍有效，因为只用到球到弧线顶端前的竖直运动，那里 $v_y=0$。它求的是球高于发射点多少，而不是高于崖下地面多少。

把表中前两式的 $t$消去，得到抛物线轨迹：

$$y=x\tan\theta-\frac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\theta}.$$

它适合作独立检验，下面的悬崖例题会用到。

例题 1：平地上 20 m/s、30° 发射

先求分量：$v_{0x}=20\cos 30^\circ=17.32\ \mathrm{m/s}$，$v_{0y}=20\sin 30^\circ=10.0\ \mathrm{m/s}$。

飞行时间。 发射和落地同高，可以使用捷径：

$$T=\frac{2(10.0)}{9.81}=2.04\ \mathrm{s}.$$

另法检验：球在 $v_y=0$时到达顶端，时刻为 $t=10.0/9.81=1.02\ \mathrm{s}$。平地上下降过程与上升对称，总时间加倍为 2.04 s。

最大高度。

$$H=\frac{(10.0)^2}{2(9.81)}=5.10\ \mathrm{m}.$$

也可把到顶端的时间代入高度式核对：$y=10.0(1.02)-4.905(1.02)^2=5.10\ \mathrm{m}$。

射程。

$$R=\frac{(20)^2\sin 60^\circ}{9.81}=35.3\ \mathrm{m}.$$

不用捷径可算 $x=v_{0x}T=17.32\times 2.04=35.3\ \mathrm{m}$。两种方法答案一致，才能放心进入下一题。若课程采用 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$（Physics Zen 的 AP 物理 1 练习如此），结果只在第三位改变：2.04 s、5.10 m、35.3 m 四舍五入后仍相同。

例题 2：从 15 m 悬崖以相同方式发射

仍以 20 m/s、30° 发射，但起点改为高出平地 15 m 的悬崖边。原点在发射点，所以落地时 $y=-15\ \mathrm{m}$。球落在更低处，射程捷径不能用，改用高度通式：

$$-15=10.0\,t-4.905\,t^2.$$

整理成 $4.905t^2-10.0t-15=0$，用求根公式得：

$$t=\frac{10.0\pm\sqrt{(10.0)^2+4(4.905)(15)}}{2(4.905)}=\frac{10.0\pm 19.86}{9.81},$$

所以 $t=3.04\ \mathrm{s}$或 $t=-1.00\ \mathrm{s}$。负根代表发射之前，同一条抛物线上的球向上经过地面高度的时刻。代数上成立，但对这次实际运动无关，应舍去。把留下的正根代回检验：$10.0(3.044)-4.905(3.044)^2=-15.0$。如何选根是我们看似物理错误、实为数学错误中讨论的失误之一。

悬崖射程。

$$x=17.32\times 3.044=52.7\ \mathrm{m}.$$

再用轨迹式验证：当 $x=52.7\ \mathrm{m}$，$y=52.7\tan 30^\circ-\dfrac{9.81(52.7)^2}{2(20)^2\cos^2 30^\circ}=30.4-45.4=-15.0\ \mathrm{m}$。球恰好到达地面。

错误捷径的代价。 若仍套用 $R=v_0^2\sin 2\theta/g$，就会得到平地答案 35.3 m；真实射程是 52.7 m。捷径少算 17.4 m，约为真实距离的 33%，而公式本身不会警告你。最大高度仍是比发射点高 5.10 m，也就是比崖下地面高 20.1 m。

着地速度。 落地时 $v_y=10.0-9.81(3.044)=-19.86\ \mathrm{m/s}$，$v_x$仍为 17.32 m/s。因此：

$$v=\sqrt{17.32^2+19.86^2}=26.3\ \mathrm{m/s},$$

方向在水平线下方，角度 $\arctan(19.86/17.32)=48.9^\circ$。能量法也独立得到速率：$v=\sqrt{v_0^2+2gh}=\sqrt{20^2+2(9.81)(15)}=26.3\ \mathrm{m/s}$。功与能量指南解释这条捷径为什么有效。

45° 仍然最远吗？ 从悬崖发射时不是。固定 20 m/s 和 15 m 落差，对几个角度解同一二次方程：

这几个角度中 37° 最远，45° 甚至比 30° 更近。高处发射已经增加滞空时间，所以更平、更快的水平分量带来更大收益。

例题 3：从桌面滚落的球

球从 0.90 m 高的桌面以 3.0 m/s 滚落。此时 $\theta=0$，$v_{0x}=3.0\ \mathrm{m/s}$，$v_{0y}=0$。再次出现不同的发射和落地高度，因此只用通式。

下落时间。 $v_{0y}=0$时，高度式变为 $-0.90=-4.905t^2$：

$$t=\sqrt{\frac{2(0.90)}{9.81}}=0.428\ \mathrm{s}.$$

这个时间与在桌边直接向下松开的球相同。水平速度不会延缓下落。

落点。 从桌脚水平量，$x=3.0\times 0.428=1.29\ \mathrm{m}$。LibreTexts 的抛体运动页面也这样处理从高处水平发射，并给出下落时间 $\sqrt{2H/g}$。

撞击速率和角度。 $v_y=-9.81(0.428)=-4.20\ \mathrm{m/s}$，所以：

$$v=\sqrt{3.0^2+4.20^2}=5.16\ \mathrm{m/s},\qquad \alpha=\arctan\frac{4.20}{3.0}=54.5^\circ$$

方向在水平线下方。用能量式检验同样得到 $\sqrt{3.0^2+2(9.81)(0.90)}=5.16\ \mathrm{m/s}$。

两道练习题与答案

1. 平地。 球以 15 m/s、仰角 60° 从平地踢出。求飞行时间、最大高度和射程。答案：$v_{0y}=13.0\ \mathrm{m/s}$、$T=2.65\ \mathrm{s}$、$H=8.60\ \mathrm{m}$、$R=19.9\ \mathrm{m}$。三个捷径在此均可使用；再用 $v_{0x}T=7.5\times 2.65$检查射程。

2. 水平发射。 从水面上方 20 m 的平台，以 12 m/s 水平扔出一块石头。它飞行多久、落在多远、撞击时速率是多少？答案：$t=\sqrt{2(20)/9.81}=2.02\ \mathrm{s}$、$x=24.2\ \mathrm{m}$、$v=\sqrt{12^2+2(9.81)(20)}=23.2\ \mathrm{m/s}$，方向在水平线下方 $58.8^\circ$。平地同高落点的捷径一条也不能用。

把拆分练到顺手

各大课程很早就教抛体运动：AP 物理 1 放在第 1 单元，我们的AP 物理 1 指南说明运动学在完整学习计划中的位置。不同考试仍用相同方法，只改变 $g$和具体数字。

Physics Zen 的运动学主题在 iPhone 和 Android 上从头到尾免费，包括抛体运动技能。每次题目都会换发射速率、角度、高度，提交后即时批改并给完整解答。做几道题，每次先问表格里的问题：球是否在发射高度落地？如果不是，就跳过捷径，先求时间。