直观理解功与能量：跳过路径的记账方法

牛顿第二定律告诉你每一刻的加速度，但很多题不需要这么多信息。把球从弯曲滑梯顶端放下，只问它到达底部有多快：如果用第二定律，就得知道曲线上每点的力，滑梯一弯，力的方向也变。你得对整个路径积分。

功与能量是跳过路径的捷径。它把运动和位置记成两栏账，并指出两个时刻之间，只要记下路上输入和支出的量，账就能对平。无需求加速度，只比较顶部与底部的余额。

这是继直观理解运动学和直观理解牛顿定律之后，力学系列的第三篇。本文说明功究竟在算什么、动能和势能从何而来、守恒为何是记账而非魔法、摩擦如何入账、功率测量什么，以及何时用能量、何时回到牛顿定律。

能量是需要追踪的数，不是看得见的东西

没人真正看见过能量。你能看到的是移动的球，或停在高处的球。物理给这两种状态赋予数值，让某个总和保持不变；这就是能量概念存在的原因。十九世纪，物理学家发现，若给运动和位置恰当定义两个量，不论中间运动多复杂，最终的总量总等于起初总量，再加减外力输入或取走的部分。

因此把能量当成账户。动能是存于运动的余额，势能是存于位置的余额。功是存款或取款，能量守恒是加总收支的对账单。

功是力乘以它作用的位移

功表示物体移动时力所产生的能量转移。若力沿推力方向把物体推过距离 $d$，它所做的功是：

$$W = F d$$

单位焦耳，相当于 1 牛顿的力作用 1 米。若力不沿运动方向，只有该方向的分量计入：

$$W = F d \cos\theta$$

$\theta$是力与位移的夹角。考试中最常见三种情况：

• 力与运动同向， $\theta = 0$。力帮助运动，$\cos 0 = 1$，功为正，相当于存款。
• 力与运动反向， $\theta = 180^\circ$。力阻碍运动，$\cos 180^\circ = -1$，功为负，相当于取款。动摩擦力总属于这种情况。
• 力与运动垂直， $\theta = 90^\circ$。功为零。平地上的支持力、让球绕圈的绳拉力、水平运动物体上的重力，无论多大都不做功。

垂直的情况容易让人意外，因为感觉“有力就该算”。但根据定义，功只计沿运动方向转移的能量。直角方向的力改变运动方向，却不改变动能，这也是轨道卫星能够始终保持相同速率的原因。

功是标量，有正负号但没有方向。因此存款和取款可以直接按普通数相加，账本才好用。

动能是功的可见结果

设质量为 $m$的物块从静止开始，在恒定合力 $F$作用下移动距离 $d$。牛顿定律给出加速度 $a = F/m$，运动学由 $v^2 = 2ad$给出末速率。代入整理：

$$F d = \tfrac{1}{2} m v^2$$

左边是做的功；右边是物块现在拥有的量，我们把它叫作动能：

$$K = \tfrac{1}{2} m v^2$$

初速不为零时，类似的代数运算得到动能定理：

$$W_{\text{net}} = \Delta K = \tfrac{1}{2} m v^2 - \tfrac{1}{2} m v_0^2$$

把它当成动能用途的定义来读：作用在物体上的所有力做功后按符号相加，净功等于动能变化。净功为正，物体变快；为负，变慢；为零时，力即使很猛烈，速率仍不变。

留意两点。动能含 $v^2$，速率加倍，能量变成四倍，所以 100 km/h 的车所需停车距离是 50 km/h 的车的四倍。另一个是动能不可能为负：倒退的物体与同速前进的物体有相同动能。

势能是可以取回的功

以恒定速率把质量为 $m$的书抬升高度 $h$。你克服重力做了 $mgh$的功，但书的动能始末相同，功去了哪里？

它存进了位置。放手后，重力在下降途中做 $mgh$的功，书到达底部时恰有 $\tfrac{1}{2} m v^2 = mgh$的动能。你做的功没有丢失，而是储存为重力势能：

$$U_g = m g h$$

AP 路径取 $g = 9.8\,\mathrm{m/s^2}$，A-Level 路径取 $9.81\,\mathrm{m/s^2}$。按题目指定值计算。

弹簧也有类似的弹性势能。弹性系数为 $k$的弹簧从自然长度压缩或拉伸距离 $x$，储存的能量是：

$$U_s = \tfrac{1}{2} k x^2$$

系数二分之一来自压缩过程中弹簧力从零增至 $kx$，平均力只是末值的一半。

只有一类特定的力能对应势能：它们做的功只取决于起点与终点，不取决于走哪条路。重力与弹簧力符合，摩擦力不符合，因为路越长摩擦耗费越多。因此摩擦没有对应势能，必须另外处理。具有这一性质的力叫保守力，每一种都能成为账本的一栏。

还有一个值得利用的自由度：$h = 0$的地点由你选。只有势能变化量有意义，所以把零点设在题目最低处，每个高度都成为正数。

守恒：账本两端对平

把两栏相加。如果做功的只有重力或弹簧力这样的保守力，总机械能就不变：

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2$$

这就是跳过路径的式子。球从高度 $h$沿弯曲滑梯滚到最低处，那里 $\tfrac{1}{2} m v^2 = m g h$，因此 $v = \sqrt{2gh}$，滑梯的形状根本没有进入计算。单摆从比最低点高 $h$处释放，不论绳长，最低处的速率都是 $\sqrt{2gh}$。若过山车从静止出发，到达比第一座山低 $\Delta h$的第二座山顶，速率为 $\sqrt{2 g \Delta h}$。

质量经常约掉。这并非巧合：从能量角度看，它与所有物体以相同加速度下落是同一事实。

摩擦以可计算的方式改写等式。动摩擦力对滑动物体做负功 $-f d$，其中 $f$是摩擦力，$d$是真正滑过的距离。把它记进账本：

$$K_1 + U_1 = K_2 + U_2 + f d$$

$f d$是离开机械能账户、变成热的能量。它并未从宇宙消失，但对这道题的机械能来说已经支出。物块从长度 $d$的粗糙斜面滑下，末动能小于 $mgh$，差额恰是 $f d$；$f = \mu N$见牛顿定律文章的摩擦力部分。

同一项还能解释物块在粗糙平地上滑行直到停止。起初的动能全部变成 $f d$，所以停车距离为 $d = \tfrac{1}{2} m v^2 / f = v^2 / (2 \mu g)$，完全不依赖质量。

功率是做功的快慢

功表示转移了多少能量，功率表示转移得有多快：

$$P = \frac{W}{t}$$

单位是瓦特，也就是焦耳每秒。60 W 的灯泡每秒转移 60 焦耳；1 kW 的电水壶每秒转移 1000 焦耳。

对于以恒定速率推动物体的力，还有更实用的写法。功是 $F d$，时间 $t$内通过的距离是 $v t$，所以：

$$P = F v$$

各种汽车题都会用到。匀速行驶的车合力为零，所以发动机向前的力等于总阻力，发动机功率就是阻力乘速率。在高速公路上把速率加倍，空气阻力大致随 $v^2$增长，因此所需功率大致随 $v^3$增长。

注意一个单位陷阱：千瓦时是能量，不是功率。1000 W 持续 3600 s 等于 $3.6 \times 10^6$焦耳。电费统计能量，电水壶铭牌写的是功率。

何时用能量，何时用牛顿定律

两种方法回答不同问题。用错方法是力学题浪费时间的常见原因。

适合用能量的时候：

• 已知两个位置的情况，想求其中一处的速率或高度。
• 路径弯曲，或力的方向沿路径改变。
• 题目没有要求时间、加速度或力。
• 唯一的非保守力是在已知距离上作用的摩擦力。

适合用牛顿定律的时候：

• 题目要求力、拉力、支持力或加速度。
• 需要时间，而能量式没有时钟。
• 非保守力沿路径变化，无法简单归纳成 $f d$。
• 物体做圆周运动，需要向心力条件。

许多题两者都用。先用能量求环形轨道最低处的速率，再用牛顿定律求那里的支持力。接力也可以反过来，关键是认清题目真正要哪个量。

功与能量的用途

运动学描述运动，牛顿定律解释原因；功与能量让你跳过中间过程，不用追踪每一步就能比较起点与终点。代价是丢掉部分信息：单靠能量无法告诉你用了多久，或某一刻作用的力。好处是路径形状变得无关，这正是牛顿方法算起来费劲的部分。

后面的力学仍会重复使用账本。动量是本着同样思路保存的第二个账户。简谐运动是能量在动能与弹簧势能两栏之间来回转移。热力学则给热新增一栏，继续同样的记账。

想真正掌握，就按有效学习物理的方法的循环：找出两个时刻，写下余额，加上所有非保守力做的功，求解，再检查单位和极限。Physics Zen 的功与能量主题用新数值练习斜向力做功、动能与势能、有无摩擦时的能量守恒；最后的功率技能需高级版。这样记住的是记账方法，而不是某题的答案。