薄透镜公式例题：实像、虚像与放大率

把物体放在会聚透镜前，并逐渐向镜片移动。在某些位置，你能把屏幕放在另一侧，接到清晰的像。把物体移到焦距以内，屏幕就接不到像了；但透过透镜看，物体可能显得更大。薄透镜公式可以描述两种情况，前提是符号能正确表示光线实际相交或看似相交的那一侧。

算术并不长。大多数错误更早就出现了：没有画草图、把虚像的像距标成正值，或把放大率的符号当成大小。下面从头到尾采用同一套明确的约定，并用光线图检查每个答案。

先画透镜，再决定正负号

画一条水平的主光轴和一条竖直的透镜线，把物体放在左侧。以下情形中，光从左向右传播。在透镜两侧各标出一个离透镜 $|f|$ 的焦点。这张简单草图能让你解出结果后找到像该在的位置。

对会聚透镜来说，从物体顶端平行于主轴入射的光线，出射后朝远侧焦点前进。穿过透镜中心的光线在薄透镜模型中近似直行。两条出射光线的交点是实像。如果出射光线彼此分开，就用虚线向后延长；反向延长线的交点是虚像，那里没有真实的出射光线汇合。发散透镜则使平行入射光线散开，仿佛它来自近侧焦点。

这些光线是理想化的。真实透镜有厚度，实际成像可能偏离薄透镜、近轴近似。这里的公式与光线图假设光线接近主轴且角度较小。OpenStax 的薄透镜章节列出了本文使用的公式、光线作图方法和符号约定。

公式与一套符号约定

令 $d_o$ 为物体到透镜的距离，$d_i$ 为像距，$f$ 为焦距，则

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.$$

三个距离必须使用相同单位。如果全部用厘米，结果就是厘米；全部用米，结果就是米。求像距时，先整理公式，再代数字：

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}, \qquad d_i=\frac{fd_o}{d_o-f}.$$

对位于入射光一侧的普通实物，我们采用实为正约定：

有些课程使用另一套带符号位置的笛卡尔坐标约定。计算途中不要混用不同约定。如果课程采用另一条形式的公式，就始终按其定义使用。物理问题不变：光线往哪走、在哪里相交、像是正立还是倒立？

例题：会聚透镜形成实像

把物体放在会聚透镜前 $30\ \mathrm{cm}$ 处，透镜的 $f=+10\ \mathrm{cm}$。物体距透镜超过一个焦距，远侧形成实像是合理的预测。代入 $d_o=+30\ \mathrm{cm}$：

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30} =\frac{2}{30}=\frac{1}{15}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

因此 $d_i=+15\ \mathrm{cm}$。正号表示像在透镜远侧。回代检查：$1/10=1/30+1/15$。在草图上，平行光线折向远侧焦点，中心光线在那里与它相交。像是实像，所以把理想屏幕放在该平面，可接住会聚的光线。

这个像更小而且倒立。要算出而不是猜出这些性质，需要用放大率。

放大率：分清朝向与大小

在同一约定下，带符号的横向放大率为

$$m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},$$

其中 $h_o$ 和 $h_i$ 分别是从主轴量起的物高与像高。负 $m$ 表示倒立；正 $m$ 表示正立。绝对值 $|m|$ 是像高相对于物高的倍数，不是长度，也没有单位。

对第一片透镜，$m=-15/30=-0.50$。若物体高 $4.0\ \mathrm{cm}$，就有 $h_i=(-0.50)(4.0)=-2.0\ \mathrm{cm}$。负号说明物体顶端的像在主轴下方，而像高的大小为 $2.0\ \mathrm{cm}$。不要把带负号的高度说成实际尺寸为负。

例题：放大的虚像

仍用会聚透镜，令 $f=+12\ \mathrm{cm}$，但物体只放在 $8.0\ \mathrm{cm}$ 处。因为 $d_o<f$，出射光线发散，其反向延长线在物侧相交。计算前先预测 $d_i<0$：

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{12}-\frac{1}{8} =-\frac{1}{24}\ \mathrm{cm^{-1}}, \qquad d_i=-24\ \mathrm{cm}.$$

虚像位于距透镜 $24\ \mathrm{cm}$ 的物侧。放大率为

$$m=-\frac{-24}{8.0}=+3.0.$$

因此在这个理想模型中，像正立，高度为物高的三倍。把屏幕放在虚像位置，接不到形成该像的汇聚光束；这个位置来自对出射光线的反向延长。这正是看见虚像与把实像投到屏幕上的关键区别。

例题：发散透镜

现在换成 $f=-15\ \mathrm{cm}$ 的发散透镜，把一个实物放在镜前 $30\ \mathrm{cm}$ 处。焦距的负号必不可少；使用 $+15\ \mathrm{cm}$ 就是在描述另一种透镜。

$$\frac{1}{d_i}=\frac{1}{-15}-\frac{1}{30} =-\frac{3}{30}=-\frac{1}{10}\ \mathrm{cm^{-1}}.$$

所以 $d_i=-10\ \mathrm{cm}$，是物侧的虚像。放大率 $m=-(-10)/30=+1/3$，表示正立且高度是物高的三分之一。在草图中，出射光线散开，其反向延长线在透镜与近侧焦点之间相交。检查时仍带着符号：$-1/15=1/30-1/10$。

在这一模型里，对实物和简单发散透镜，可以预期虚、正立、缩小的像。上述计算用一组具体距离展示了这一规律；负 $f$ 是产生这一结果的关键。

物体在焦平面时会怎样？

在整理后的公式 $d_i=fd_o/(d_o-f)$ 中，当实物趋近会聚透镜的焦距，分母趋向零。从 $f$ 外侧靠近时，$d_i$ 变得很大且为正；从内侧靠近时，它变得很大且为负。恰在 $d_o=f$ 时，$1/d_i=0$：理想模型中的出射光线相互平行，因而没有有限的像距可报。

不要把 $d_o=f$ 代入分式，然后把计算器的除零错误当成物理结果。应画出平行光线，并说明在理想模型中像位于无穷远处。

先试三题，再核答案

1. 实像和像高。 会聚透镜的 $f=+20\ \mathrm{cm}$，一个高 $3.0\ \mathrm{cm}$ 的实物距它 $60\ \mathrm{cm}$。求像距和像高。计算：$1/d_i=1/20-1/60=1/30\ \mathrm{cm^{-1}}$，所以 $d_i=+30\ \mathrm{cm}$。接着 $m=-30/60=-0.50$、$h_i=-1.5\ \mathrm{cm}$。实像倒立，高度是物高的一半。

2. 焦距以内。 会聚透镜的 $f=+9.0\ \mathrm{cm}$，实物位于 $d_o=+6.0\ \mathrm{cm}$。求像与放大率。计算：$1/d_i=1/9-1/6=-1/18\ \mathrm{cm^{-1}}$，所以 $d_i=-18\ \mathrm{cm}$。再算 $m=-(-18)/6.0=+3.0$。像是虚像、正立且放大。

3. 发散透镜。 实物距一片透镜 $24\ \mathrm{cm}$，透镜的 $f=-12\ \mathrm{cm}$。求像距和像的类别。计算：$1/d_i=-1/12-1/24=-1/8\ \mathrm{cm^{-1}}$，所以 $d_i=-8.0\ \mathrm{cm}$。像在物侧，因此是虚像。另有 $m=-(-8)/24=+1/3$，所以它正立且缩小。

透镜的作用始于光的传播方向改变。我们的斯涅尔定律指南解释单个界面的折射。要练习透镜计算和判断像的类型，请进入 Physics Zen 光学主题。A-Level 物理、Abitur 物理及Bac 物理指南则把光学放入更完整的复习计划。