直观理解库仑定律：电荷、力与电场

在头发上摩擦气球，它会粘在墙上。用塑料梳子梳干头发，它也能从桌上吸起纸屑。梳子与纸之间看不到连接，却有力量隔空拉动；梳子越近，这股力越强。

这是电场力。库仑定律能量化它怎样随电荷量变化，尤其怎样随距离变化。下面的例题假设真空或空气中静止的小电荷。

电荷可以计数

电荷有正、负两种。同号互斥，异号相吸。质子带一个单位的正电荷，电子带一个单位的负电荷，这个单位是元电荷：

$$e = 1.602176634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$

自2019 年国际单位制修订后，该数值按定义为精确值。任何物体的电荷量都是它的整数倍；一库仑约相当于 $6.24 \times 10^{18}$个元电荷。

电荷也守恒。气球与头发摩擦不会创造电荷，而是让电子转移；一方得到多少，另一方就失去多少。中性物体仍有电荷，只是正负两种数量相等。

库仑定律：公式与单位

1785 年，Charles-Augustin de Coulomb 发表了用扭秤测得的两个小带电球之间的斥力结果。APS News 的回顾指出，力与两球中心间距离的平方成反比。

现代写法中，点电荷 $q_1$和 $q_2$相距 $r$时：

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

$F$用牛顿，两电荷量用库仑，中心到中心的 $r$用米。库仑常数 $k$使库仑和米代入后得到牛顿：

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$$

这里 $\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$是真空介电常数；保留四位数时，$k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$。OpenStax 的库仑定律章节给出同样的形式。

绝对值表示公式只求大小。电荷的正负决定相斥还是相吸，力始终沿连接两电荷的直线作用。

距离为什么影响这么大

公式中的 $r^2$让距离成为最敏感的量。间距翻倍，力变四分之一；变为三倍，力变九分之一。

下面是帮助理解的直觉，不是严格推导。想象电荷的影响均匀向四面八方扩散。距离 $r$处，它分布在面积为 $4\pi r^2$的球面上。$r$翻倍，球面面积变四倍，每小块分到的影响只有原来的四分之一。$4\pi$也出现在 $k$中，与同一个球面有关。

平方关系也解释气球为什么能贴墙。中性墙壁的电荷稍微移动，异号电荷移近气球，同号电荷移远。距离如此重要，近处的吸引胜过远处的排斥，于是气球粘住。

例题：两个相同电荷

两个小球各带 $+2.0\ \mu\mathrm{C}$，相距 $0.30\ \mathrm{m}$。一微库仑等于 $10^{-6}\ \mathrm{C}$，因此每个电荷代入 $2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$：

$$F = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})^2}{(0.30)^2} = \frac{0.03596}{0.090} \approx 0.40\ \mathrm{N}$$

两个电荷均为正，所以是斥力。每个球都受约 0.40 N、沿直线远离另一个球的力，大致等于一个 40 克物体的重量。

把它们移到 $0.60\ \mathrm{m}$处，距离翻倍，不必重算也能知道力变为四分之一，即 $0.10\ \mathrm{N}$。

例题：电场力到底有多强？

看氢原子中的电子和质子，间距取一个玻尔半径：$r = 5.29 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}$，这是原子基态的典型间距。两者的电荷量大小都是 $e$：

$$F_e = \frac{(8.99 \times 10^{9})(1.602 \times 10^{-19})^2}{(5.29 \times 10^{-11})^2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$$

计算同一对粒子之间的重力，要用 $G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$、$m_e = 9.109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$及 $m_p = 1.673 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$：

$$F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2} \approx 3.63 \times 10^{-47}\ \mathrm{N}$$

电场力约为重力的 $2.27 \times 10^{39}$倍。两者都按 $1/r^2$下降，因此任意间距下该比值都一样。

那为什么重力还能把你留在地面、让月亮留在轨道？因为物质几乎完全电中性。质子与电子彼此匹配，巨大的电吸引和排斥几乎完全抵消。质量没有负的对应种类，重力不会这样抵消；行星上的每一千克都会增加引力。

先定方向，再相加

多个电荷存在时，每一对如同其他电荷不存在那样相互作用，合力是这些力的矢量和。这叫叠加原理。

把三个电荷放在同一直线：

• $q_1 = +3.0\ \mu\mathrm{C}$位于 $x = 0$。
• $q_2 = -2.0\ \mu\mathrm{C}$位于 $x = 0.20\ \mathrm{m}$。
• $q_3 = +1.0\ \mu\mathrm{C}$位于 $x = 0.10\ \mathrm{m}$。

求 $q_3$受到的合力，它与其他两个电荷各相距 $0.10\ \mathrm{m}$。动笔算数前先定方向：$q_1$和 $q_3$都为正，所以 $q_1$把 $q_3$推向 $+x$；$q_2$为负，会把 $q_3$吸向自己，同样是 $+x$方向。

两力要相加，所以取四位数，使用 $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$：

$$F_{13} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(3.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 2.696\ \mathrm{N}$$ $$F_{23} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 1.798\ \mathrm{N}$$

两者同向，因此大小相加：

$$F_{\mathrm{net}} = 2.696 + 1.798 = 4.494\ \mathrm{N} \approx 4.49\ \mathrm{N}$$

$q_3$受到向右约 4.49 N 的合力。方向靠物理判断，公式只提供大小。

从力走向场

库仑定律描述一对电荷，电场则描述其中一个周围的空间。它定义为小的正试探电荷 $q$所受的单位电荷量的力：

$$E = \frac{F}{q}$$

单位牛顿每库仑，方向是正电荷会被推动的方向。从库仑定律中除掉试探电荷，可得点电荷 $Q$的电场：

$$E = k\frac{|Q|}{r^2}$$

距离 $0.30\ \mathrm{m}$处，若场源电荷为 $2.0\ \mu\mathrm{C}$：

$$E = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})}{(0.30)^2} \approx 2.0 \times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$$

不放试探电荷，电场也存在。求出一次后，$F = qE$即可计算放在那里的任何电荷受力：另一个 $2.0\ \mu\mathrm{C}$电荷就会受到第一个例题中的 0.40 N。负电荷的受力方向与电场相反。

电场线从正电荷出发，终止于负电荷或延伸到无穷远。某点电场沿通过该点的场线切线方向，场线越密，电场越强。场线绝不相交，因为每一点电场只有一个方向。单个电荷周围各球面穿过的场线数相同，密度按 $1/r^2$下降，又是平方反比。

下一步是电势，即单位电荷的能量，单位伏特。串并联电路指南中的电压就是电势差。

并排比较库仑定律与牛顿引力

两条定律为：

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} \qquad F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

两者都随两个源量的乘积增加，随距离平方增加而减弱。区别是符号：电荷有正负两种，质量只有一种，所以电场力可以吸引或排斥，重力只有吸引。强度相差上面算得的大约 $10^{39}$倍。

牛顿定律把库仑力像其他力一样转成加速度，第三定律也成立：三电荷例题中，$q_3$对 $q_1$的反推力同样是 2.696 N，尽管 $q_1$的电荷量是它的三倍。圆周运动指南中重力提供轨道向心力；在氢原子的玻尔模型里，电子所需向内力由库仑吸引提供。

容易失分的错误

• 忘记距离要平方。 第一个例题若除以 0.30 而不是 0.090，会得到 0.12 N 而不是 0.40 N。
• 跳过单位换算。 微表示 $10^{-6}$，纳表示 $10^{-9}$，30 cm 等于 0.30 m。两电荷都不从微库仑换算，算出的力会大 $10^{12}$倍。
• 把符号当方向。 带符号相乘时 $q_2$与 $q_3$的积为负，看着像“向左”。其实它表示吸引，而朝 $q_2$吸引的方向是向右。误判为左会得到约 0.90 N，而不是 4.49 N。
• 不同向的力只按大小相加。 只有同向才能直接相加。直线反向的力相减，斜向力要拆成分量。
• 混淆 E 与 F。 N/C 单位的电场属于空间某点，牛顿单位的力则属于特定电荷。

前两项属于数学失误；我们的其实是数学失误的物理错误指南讲到词头和 10 的幂。

把定律变成练习

Physics Zen 的静电场主题有三项技能：电荷与库仑定律、电场和电势。在 iPhone 和 Android 上，前两项技能免费，只有最后的电势技能需要高级版。静电学也出现在 A-Level、Abitur 和 Bac 路径中；A-Level 物理指南、Abitur 指南与Bac 指南说明这些内容的位置。

先定每个力的方向再计算。然后检查距离：要平方，要以米为单位，而且库仑定律中没有其他量能像距离这样显著改变答案。