电磁感应：法拉第定律完整例题

把磁铁推向导线线圈，接在线圈上的仪表指针可能偏转。磁铁停下，偏转消失；把它拉远，偏转方向反转。磁铁静止时线圈并没有离开磁场，改变的是穿过线圈的磁通量。

电磁感应把磁通量的变化变成电动势，通常简称 emf。法拉第定律给出感应电动势的大小，楞次定律给出方向。使用两者前，分开问三个问题更容易：什么穿过回路？穿过的量如何变化？电流是否有闭合路径？

磁通量计算穿过面积的磁场

想象在一圈导线上绷一张平面薄膜。磁通量计量穿过这张膜的磁场，同时考虑方向。一般定义为：

$$\Phi_B=\int_A\mathbf{B}\cdot\hat{\mathbf n}\,dA.$$

$\mathbf B$表示磁场，$dA$是膜上一小块面积，$\hat{\mathbf n}$是选定的、垂直膜面的单位法线矢量。点积表示只计垂直膜面的磁场分量。先选法线朝回路哪一侧，再始终保持一致；若回路旋转，法线也跟着旋转。反转法线会反转磁通量和电动势的符号，却不改变实际电流方向。

对于面积 $A$的平面回路，处于强度 $B$的均匀磁场中，积分化为：

$$\Phi_B=BA\cos\theta,$$

其中 $\theta$是磁场与表面法线之间的角度。磁场垂直穿过回路时，$\theta=0^\circ$，磁通量大小为 $BA$；磁场沿回路平面时，$\theta=90^\circ$，磁通量为零。若已知磁场与平面的夹角，要先换算，不能直接代入。

SI 单位是韦伯 Wb：$1\ \mathrm{Wb}=1\ \mathrm{T\,m^2}$。磁通量针对单个回路。若线圈有 $N$个相同匝，每匝通过的磁通量相同，总磁通链为 $N\Phi_B$。OpenStax 对法拉第定律的介绍同时给出一般定义与均匀磁场下的简化式。

第一个磁通量例题

设平面回路面积为 $0.040\ \mathrm{m^2}$，置于均匀的 $0.30\ \mathrm T$磁场中。磁场与回路法线夹角 $60^\circ$。选择法线使磁通量为正：

$$\Phi_B=(0.30)(0.040)\cos60^\circ =0.0060\ \mathrm{Wb}.$$

若把同一回路的法线转到与磁场同向，即使磁场强度和面积都不变，磁通量也成为 $0.012\ \mathrm{Wb}$。改变朝向可以在恒定磁场中感应电动势。

法拉第定律测量变化率

若 $N$匝相同，每匝磁通量相同，法拉第定律为：

$$\mathcal E=-N\frac{d\Phi_B}{dt}.$$

电动势 $\mathcal E$用伏特计；一韦伯每秒等于一伏特。磁通量变得越快，电动势越大，并与匝数成正比。选定的法线还通过右手法则规定绕回路的正方向：拇指沿法线，弯曲的手指指向正环绕方向。负号体现楞次定律，不表示大小一定要报负数。

若题目只给某段时间的初始与末磁通量，应求平均感应电动势：

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}}=-N\frac{\Phi_{B,\mathrm{final}}-\Phi_{B,\mathrm{initial}}}{\Delta t}.$$

除非磁通量匀速变化，平均值无法告诉你每个瞬间的电动势。改变磁场只是改变磁通量的一种方式；即使 $B$恒定，回路面积或角度也可以变化。回路外某处的磁场改变本身并不足够，必须是穿过所选回路的磁通量改变。

例题：平均感应电动势

线圈有 80 匝，每匝围出 $0.025\ \mathrm{m^2}$面积。垂直线圈的均匀磁场从 $0.10\ \mathrm T$增至 $0.35\ \mathrm T$，用时 $0.20\ \mathrm s$。沿磁场选择正法线。每一匝的磁通量变化为：

$$\Delta\Phi_B=A\Delta B =(0.025)(0.35-0.10) =0.00625\ \mathrm{Wb}.$$

平均电动势因此为：

$$\mathcal E_{\mathrm{avg}} =-80\frac{0.00625}{0.20} =-2.5\ \mathrm V.$$

它的大小是 $2.5\ \mathrm V$。负号表示相对于所选正法线和正环绕方向，感应电动势沿反方向绕回路。若磁场不是匀速增强，$2.5\ \mathrm V$仍是该时间段的平均大小，但瞬时值可能不同。

楞次定律：反对变化，不是反对磁场

选择顺时针或逆时针前，先判断原来的磁通量是增加还是减少。若回路闭合，感应电流产生一股阻碍变化的磁场。OpenStax 的楞次定律章节把方向规律与能量守恒联系起来。

设回路平放在纸上。磁场指向纸面里侧，并越来越强，向里的磁通量正在增加。回路的感应磁场必须指向纸面外侧以阻碍增加。右手拇指指向纸外，手指沿电流方向弯曲：从上方看，电流为逆时针。

再让原磁场仍向纸里，但逐渐减弱。为阻碍磁通量流失，感应磁场应向纸里侧。右手法则给出顺时针电流。原磁场方向在两种情况相同，决定感应方向的是变化。

移动磁铁也按同样步骤。明确哪一极朝向回路、从哪一侧观察，判断磁通量怎样变，再用右手法则。若不说观察方向，只答“顺时针”并不完整。

有电动势也可能没有环流

感应电动势试图驱动电荷沿回路运动。要保持持续环绕的传导电流，需要闭合导电路径。剪断导线后，磁通量变化依然产生感应电动势，但电荷不能跨越缺口持续循环。若回路闭合且电阻已知，简单电阻模型给出电流大小 $I=|\mathcal E|/R$。光知道电动势还不能定电流，电阻也重要。我们的串并联电路指南解释电路部分。

发电机利用这一原理：让线圈相对于磁场转动，改变角度进而改变磁通量。静止回路放在不变的均匀磁场里，即使有磁场穿过，磁通量也恒定，依法拉第定律就没有感应电动势。移动导体可能需要更仔细的电路分析，但这里的例题以闭合回路磁通量规律为适当起点。

不要把感应电动势与静止电荷问题中的静电势差混淆。两者都以伏特计，但变化的磁通量可以驱动电荷绕闭合路径流动。若要比较静电场，可看电势与电场的区别。

三道带解答的练习题

1. 磁场恒定，面积变化。 单匝矩形导电回路垂直于均匀的 $0.40\ \mathrm T$磁场。围成的面积从 $0.030\ \mathrm{m^2}$降到 $0.010\ \mathrm{m^2}$，用时 $0.50\ \mathrm s$。平均感应电动势大小多少？法线沿磁场。磁通量变化为 $0.40(0.010-0.030)=-0.0080\ \mathrm{Wb}$，因此 $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=0.0080/0.50=0.016\ \mathrm V$。磁场始终不变，是面积变化起作用。

2. 转动线圈。 一只 20 匝、面积 $0.010\ \mathrm{m^2}$的线圈置于均匀的 $0.50\ \mathrm T$磁场中。经过 $0.10\ \mathrm s$，法线从与磁场平行转为垂直。求平均感应电动势大小。每匝磁通量从 $BA=0.0050\ \mathrm{Wb}$降至零，所以 $|\mathcal E_{\mathrm{avg}}|=20(0.0050)/0.10=1.0\ \mathrm V$。求这个平均值无需假设转速恒定。

3. 方向与电流。 从上方看，穿过闭合 5 匝线圈的磁场指向纸面外侧且逐渐增强。感应电流朝哪边？向外磁通量增加，感应磁场必须指向纸里。按右手法则，从上方看电流为顺时针。若打开线圈，仍有感应电动势，但断口处没有持续环流。

可在 Physics Zen 的磁场与电磁感应主题练习磁通量与感应电动势。电磁感应同时出现在 A-Level 物理和德国 Abitur 中；我们的A-Level 物理备考指南与Abitur 物理指南说明它与其他电场、磁场主题的关系。