电势与电场的区别：高度、坡度和电荷

山上两点可以都很高，而中间的地面几乎平坦。第三点可能低得多，却位于陡坡。高度与坡度描述的是同一地形的不同性质。

电势与电场的关系类似。电势给每个位置一个值。电场告诉你移动时这个值怎样变化，包括它下降最快的方向。电势高不代表电场一定强。

本文只讨论静电学，即电荷和电场不随时间变化的情况。只有在这种情况下，单一的电势分布才能完整给出电场。

四个物理量，两组对应关系

先看某一个电荷所受的量。电场力 $\mathbf{F}$作用于它，而它在电荷分布中具有电势能 $U$。

把两者分别除以试探电荷 $q$：

$$\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q}, \qquad V=\frac{U}{q}$$

电场 $\mathbf{E}$和电势 $V$描述的是周围环境。换一个足够小的试探电荷，所受力和能量会变；只要试探电荷没有明显扰动源电荷，环境本身不会变。

电场是矢量，方向也是答案的一部分。电势是标量，有正负值但没有方向。OpenStax 对电势的介绍解释了能量与单位电荷能量的区别。

我们的库仑定律指南解释源电荷如何产生力和电场。电势提供了处理同一问题的另一条路径。

电压比较两个位置

电压就是电势差：

$$\Delta V=V_B-V_A$$

电荷从 A 移到 B 时，电势能的变化是：

$$\Delta U=q\Delta V$$

设电荷量为 $+3\ \mathrm{\mu C}$的电荷从 10 V 移到 4 V。电势变化为 $4-10=-6\ \mathrm{V}$，因此：

$$\Delta U=(3\times10^{-6})(-6) =-18\times10^{-6}\ \mathrm{J}$$

它损失了 18 微焦耳的电势能。电场对它做了 18 微焦耳的正功。若只有电场力做功，它的动能增加同样多。功与能量指南使用相同的能量账本。

另选零点不会改变任何一个结果。若把两个电势都提高 100 V，电荷就从 110 V 移到 104 V，仍下降 6 V。“这个点为 10 V”这样的说法始终依赖于参考点。

电场是电势的下坡斜率

沿一个坐标方向，静电关系为：

$$E_x=-\frac{dV}{dx}$$

负号给出方向：电场指向电势降低处。得克萨斯大学 Richard Fitzpatrick 的讲义从功与能量推导了这个式子。不用微积分也能理解均匀电场：把电势变化除以距离，再反转符号即可。

假设电势从 $x=0$处的 18 V，以恒定变化率降到 $x=0.04\ \mathrm{m}$处的 6 V：

$$E_x=-\frac{6-18}{0.04}=+300\ \mathrm{V/m}$$

正号表示电场沿 x 轴正方向。同样的 4 cm 内如果只下降 3 V，电场就只有 75 V/m。重要的是每米下降多少。

简写 $E=|\Delta V|/d$要求电场均匀，且距离沿电场方向测量。大平行板间远离边缘的地方可以这样近似。在点电荷周围，电场随距离变化，用一段有限距离上的电势差除以距离，得到的是该路径上的平均值，不是每一点的电场。

电势随位置变化时，OpenStax 的由电势求电场章节给出导数形式及其三维推广。

负电荷使受力方向反转

电场方向由正试探电荷定义。任意电荷所受的力是：

$$\mathbf{F}=q\mathbf{E}$$

当 $q$为负，受力方向反转。在上面 300 V/m 的电场中，电荷量为 $-2\ \mathrm{\mu C}$的电荷受到：

$$F_x=(-2\times10^{-6})(300) =-6\times10^{-4}\ \mathrm{N}$$

电场力指向 x 轴负方向，也就是电势更高的地方。但这不表示电势能上升：$V$增加时乘以负电荷量，$U$反而下降。

还要准确区分运动方向。力决定加速度，不一定决定粒子已经在朝哪个方向运动。负电荷即使朝较低电势方向发射，也可以一边减速一边继续向那边移动。“负电荷上坡”描述的是受力方向，或从静止释放时的初始加速度，不代表所有可能轨迹。

电势为零与电场为零是两回事

在直线上放两个大小相同的正点电荷。中点处两个电场大小相等、方向相反，合电场为零。如果把无穷远处定为零电势，每个电荷贡献的电势都是正的，会相加。尽管电场为零，这里的电势仍为正。

再把其中一个源电荷换成大小相同的负电荷。中点处正负电势抵消。但两个电场都从正电荷指向负电荷，因此相加而不是相互抵消。

这两个例子揭示常见错误：把电场大小像标量电势一样直接相加。合成电场要考虑方向，叠加电势则要保留代数符号。

某点的电场为零，也不意味着周围区域的电势处处相同。它可能是变化地形中的一个驻点，就像山坡上局部平坦的一小处。

等势面如同等高线

在等高线图上，同一条线的点高度相同；在等势面上，各点的电势相同。

沿这个面移动电荷，电势能的变化为零。即便那里存在电场，电场也不会对这种移动做功。在电场不为零的地方，它与等势面垂直。

等势线间隔较密，只有当相邻线代表相同的电势差时才说明电场更强。如果图上的电压间隔不同，应先读标签，再比较线距。

根据问题选择公式

要求力？ 先求电荷所在处的电场，再乘上带符号的电荷量，并写明方向。

要求能量或速度？ 由电势差求 $\Delta U=q\Delta V$。若其他力也做功，在把能量变化转成速度之前要把那些功算上。

给出电势图像？ 读出斜率，求沿图像坐标方向的电场分量。图像位置较高不代表斜率也较大。

处理电路？ 追踪节点之间的电势差。串并联电路指南解释了为什么沿一条路径的电压变化会相加，而并联支路共享同一对端点。

在 Physics Zen 练习时，可在题旁画四列：电场、力、电势、能量。代入数值前，在各列写上对应单位。这样区分后，符号错误或漏掉的电荷量更容易看出来。