直观理解动量：碰撞中依然守恒的第二本账

让购物手推车和装满货的搬家货车以同样的步行速度穿过停车场，再试着分别让它们停下。速率相同，难度却完全不同。牛顿定律可以算出每一刻需要的力，能量告诉你停车要做多少功，但它们都没有直接说出你感觉到的东西：要消除的运动究竟有多少。

物理把这个量叫动量，它是力学中的第二本重要账本。功与能量文章介绍了第一本，是比较两个时刻收支的标量账本。动量账本也是如此，只不过记的是矢量，而且有能量账本没有的一大优点：碰撞即使激烈、混乱、损失动能，这本账仍能对上。车身压皱、黏土粘合、子弹嵌进木块，动能账不再平衡，动量账却仍平衡。

这是力学系列继运动学、牛顿定律和功与能量之后的第四篇。我们会说明动量测量什么、冲量为何更忠实地表达牛顿第二定律、碰撞中总动量为何守恒、三类碰撞有何不同，以及拿到题目时该翻开哪本账。

动量是物体所带的运动

动量等于质量乘速度：

$$\vec{p} = m\vec{v}$$

单位为千克·米每秒。它是矢量，这点非常重要。动量指向物体运动的方向，反方向的动量会抵消。2 kg 的球向右以 3 m/s 运动，动量是 $+6$；同一球向左则是 $-6$；两个这样的球迎面靠近，虽然都在运动，总动量却为零。

手推车与货车速率相同，所以动量只因质量不同，货车的是手推车的 100 倍。停车时感到的差别正是这个倍数。动量如实衡量“运动有多少”；质量或速度加倍，动量都会加倍。相比之下，动能中的速率要平方，于是动量与能量容易混淆的根源已经出现。

冲量是牛顿表达第二定律的方式

牛顿没有写 $F = ma$。他写的是力等于“运动的量”的变化率，用现代符号就是：

$$\vec{F}_{\text{net}} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$$

两边乘以时间，得到冲量-动量定理：

$$\vec{F}_{\text{net}}\,\Delta t = \Delta \vec{p}$$

左边的力乘作用时间是冲量，单位牛顿·秒；右边是它造成的动量变化。质量恒定时这只是 $F = ma$的另一种写法，因为 $\Delta p = m\Delta v$且 $\Delta v / \Delta t = a$。但冲量式显示了加速度式不太明显的事情：短时间的大力与长时间的小力，都可能实现相同的动量变化。

这就是各种安全装置的物理原理。以 15 m/s 行驶的车无论撞上什么，只要停下，就得失去全部动量。坚硬的墙在百分之几秒内让它停下，因此力非常大。车身溃缩区把停车时间延长到十分之几秒，力按相同比例减小。安全气囊对头部做的是同一件事。接板球时双手向后收、跳下时弯膝着地、体育馆里的软垫地板也如此：无法改变 $\Delta p$，就拉长 $\Delta t$来减小 $F$。

在力-时间图像中，冲量是曲线下面积，所以也能处理变化的力。碰撞力冲到峰值后回落，那座峰下面的面积就是冲量；平均力等于面积除以持续时间。

总动量为什么守恒

让两个物体碰撞。接触时 A 推 B，B 反过来推 A。牛顿第三定律说两力大小相等、方向相反；接触对双方在同一时刻开始和结束，因此作用时间也完全相同。所以 A 受到的冲量是 B 受到冲量的负值，A 的动量变化也是 B 动量变化的负值：

$$\Delta \vec{p}_A = -\Delta \vec{p}_B \quad\Rightarrow\quad \vec{p}_A + \vec{p}_B = \text{constant}$$

一个物体失去多少动量，另一个就得到多少，精确到每克·米每秒。总量不变，这就是动量守恒。注意推导不需要知道撞击有多猛烈、物体弹开还是粘住、多少能量变成热和声音。内部作用力总成对抵消，系统内部做什么都不改变整个系统的动量。

只有外力能改变它，比如与地面的摩擦、重力或墙施加的力。因此动量题常说“碰撞期间”：接触短到外力来不及施加显著冲量，于是碰前和碰后瞬间的总动量相同。烟花在发射台上静止时动量为零，爆炸后瞬间所有碎片都在运动，总动量仍为零，因为碎片的动量恰好彼此抵消。

三类碰撞

三类中动量都守恒，不同的是动能会怎样变化。碰撞题真正要区分的就是这一点。

完全非弹性：物体粘在一起。 运动的火车车厢撞上静止车厢并连接，子弹嵌进木块，两辆车撞后锁在一起。碰后成为一个总质量的物体，以同一速度运动，动量守恒马上给出它的速度：

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v_f$$

碰后动能总比碰前少；在动量仍守恒的前提下，这是可能损失最多动能的情况。能量去了哪里？变形、热和声音，与能量文章中摩擦力填入的 $f d$那一栏相同。题目说两个物体粘住，就用动量，不要写 $K_1 = K_2$，因为不成立。

弹性：弹开而没有动能损失。 台球、钢珠，作为很好的近似还有气体分子。动量与动能都守恒，因此有两条方程可求碰后两个未知速度。最清楚的特例是一维、质量相等：原来运动的球停下，原来静止的球以原来的速率离开，打过台球的人都见过。一般的正面弹性碰撞中，接近时的相对速率等于分离时的相对速率，能绕过二次方程计算。

非弹性，但不是完全非弹性：弹开并损失一些动能。 几乎所有真实碰撞都在这类。落下后弹不回原高度的球、碰后分开的车、网球发球都是例子。动量守恒，动能降低多少可能由题目给定，也可能要你求；光有动量守恒还少一个条件。

记住三者的方法：动量守恒式总要写；只有题目说弹性时才另外加上动能守恒式，说粘在一起时绝不能加。

两个完整例题

一辆车撞上静止车，两车连接。 3 kg 的小车以 4 m/s 撞上静止的 1 kg 小车并粘合。碰前动量为 $3 \times 4 + 1 \times 0 = 12$。碰后总质量 4 kg，以 $12 / 4 = 3\ \mathrm{m/s}$运动。碰前动能为 $\tfrac{1}{2}(3)(16) = 24\ \mathrm{J}$，碰后为 $\tfrac{1}{2}(4)(9) = 18\ \mathrm{J}$。6 焦耳转成了热和连接时的声响。动量恰好平衡，动能少了四分之一。这就是“非弹性”的数值表现。

反冲。 60 kg 的滑冰者在冰上静止，把 2 kg 的球以 15 m/s 向前抛出。碰前总动量为零，之后滑冰者的动量必须抵消球的动量：$60\,v = -2 \times 15$，所以 $v = -0.5\ \mathrm{m/s}$，即每秒向后 0.5 米。没有其他人推滑冰者；滑冰者推了球，其余由第三定律解释。火箭、枪械和消防水管的反冲也只是换了数字的同一计算。

动量账还是能量账，该翻哪本？

两种守恒量回答不同问题。许多学生的失误是选自己熟悉的，而不是当前适用的。

该用动量账的时候：

• 两个或更多物体相互作用，要求相互作用刚结束时的速度。
• 题目出现粘合、连接、嵌入、爆炸、反冲或碰撞。
• 物体被压皱或粘住，动能显然不守恒。
• 已知作用时间与速度变化，要求力，或反过来求其中一个量。

该用能量账的时候：

• 单个物体沿路径或经过高度变化，要求另一位置的速率。
• 题目说明弹性碰撞，需要第二条方程。
• 已知距离上的摩擦力是唯一的损失。

两本账经常接力。弹道摆是典型例子：子弹嵌进悬挂物块时用动量，因为二者粘住；物块随后摆到一定高度时用能量，因为这时是一个物体克服重力上升。顺序反过来或在嵌入阶段使用能量，答案会差得很大。难点不是知道两条定律，而是认出当前解题步骤该用哪一条。

错误从哪里来

把动量当标量。 正面碰撞时漏写某个速度的符号，答案会完全不同。定一个正方向，每个速度都带上符号，再检查最终符号是否符合物理情形。

粘合碰撞中仍令动能守恒。 物体连接意味着能量已经损失。写 $K_{\text{before}} = K_{\text{after}}$会得到矛盾或错误速度。这里仅用动量守恒。

忘记冲量是力乘时间，不是只有力。 长时间持续的小力可能比短暂的大力带来更多冲量。关键是力-时间图像下的面积。

外力作用很久却仍套用动量守恒。 车上坡时的动量不守恒，因为重力和摩擦在这段时间施加了冲量。守恒适用于短暂相互作用，或没有合外力的系统。

弄错碰后哪部分质量运动。 完全非弹性碰撞时总质量一起动；弹性碰撞时两者仍是不同物体，可能有不同速度。读题时找“粘在一起”这个条件。

动量的用途

运动学描述运动，牛顿定律解释原因，功与能量让你跳过路径，动量则让你跳过碰撞细节。你不必知道接触期间的力、持续时间或接触面的形状；只需知道碰前各动量，碰后总量就是同一个数。这本账经得起激烈碰撞。

它也指向后面的主题。角动量是旋转物体上的同一思路，解释陀螺为何保持直立，以及花样滑冰选手收起双臂时为何越转越快。第二定律的冲量-动量形式能延伸到相对论，而原样的 $F = ma$不行。起初看似源于牛顿第三定律的守恒律，实际上有更深的来源：物理定律在这里与向左一米处相同。每一条物理守恒律背后都有对称性，动量的那种最简单。

练熟这一主题，仍按有效学习物理的方法给出的流程：选正方向，写碰前碰后带符号的动量，从题目措辞判断动能是否也守恒，求解，再检查符号和极限。Physics Zen 的动量与碰撞主题前四项技能免费，只有最后的质心技能需要高级版。该主题用新数值练冲量与平均力、粘合碰撞与反冲、从等质量开始的弹性碰撞，帮你掌握选择两本账的习惯，而不是记住一道例题。