Lei de Coulomb de forma intuitiva: carga, força e campo elétrico

Esfregue um balão no cabelo e ele gruda na parede. Passe um pente de plástico pelo cabelo seco e ele poderá erguer pedacinhos de papel da mesa. Nada visível liga pente e papel, mas alguma coisa puxa através do espaço, com mais força quando o pente se aproxima.

Esse puxão é a força elétrica. A lei de Coulomb permite calcular essa força e mostra como ela depende da quantidade de carga e, sobretudo, da distância. Os exemplos pressupõem cargas pequenas em repouso no vácuo ou no ar.

Carga é algo que você pode contar

Há dois tipos de carga elétrica, positiva e negativa. Cargas de mesmo sinal se repelem; cargas de sinais opostos se atraem. Um próton carrega uma unidade positiva e um elétron, uma negativa. Essa unidade é a carga elementar:

$$e = 1.602176634 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}$$

Desde a revisão do SI de 2019, esse valor é exato por definição. A carga de qualquer objeto é um múltiplo inteiro dele, e um coulomb corresponde a cerca de $6.24 \times 10^{18}$ cargas elementares.

A carga também se conserva. Esfregar um balão no cabelo não cria carga: transfere elétrons. O que um ganha, o outro perde. Um objeto neutro também contém cargas, em quantidades iguais dos dois sinais.

Lei de Coulomb: fórmula e unidades

Em 1785, Charles-Augustin de Coulomb publicou medidas de repulsão entre duas pequenas esferas carregadas obtidas com uma balança de torção. Como relata APS News, a força variava inversamente com o quadrado da distância entre seus centros.

Na forma moderna, para cargas pontuais $q_1$ e $q_2$ separadas por uma distância $r$:

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

$F$ está em newtons, as cargas em coulombs e $r$ em metros, de centro a centro. A constante de Coulomb $k$ transforma coulombs e metros em newtons:

$$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8.99 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$$

Aqui $\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ é a permissividade do vácuo; com quatro algarismos, $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$. A seção da OpenStax sobre a lei de Coulomb apresenta a mesma forma.

As barras de valor absoluto fazem a fórmula fornecer apenas a magnitude. Os sinais determinam se há repulsão ou atração, e a força sempre age ao longo da reta que une as cargas.

Por que a distância importa tanto

O $r^2$ torna a distância a variável de maior impacto na fórmula. Dobre a separação e a força cai para um quarto; triplique e ela cai para um nono.

Aqui vai uma intuição, não uma demonstração. Imagine a influência da carga se espalhando uniformemente em todas as direções. À distância $r$, ela se distribui por uma esfera de área $4\pi r^2$. Se dobrar $r$, a esfera terá quatro vezes a área e cada parte receberá um quarto da influência. O $4\pi$ em $k$ remete à mesma esfera.

O quadrado também ajuda a explicar o balão na parede. As cargas da parede neutra se deslocam um pouco: cargas opostas ficam mais perto do balão e cargas do mesmo sinal mais longe. Com uma força tão sensível à distância, a atração mais próxima supera a repulsão mais distante, e o balão gruda.

Exemplo resolvido: duas cargas iguais

Duas pequenas esferas carregam $+2.0\ \mu\mathrm{C}$ cada uma e estão separadas por $0.30\ \mathrm{m}$. Um microcoulomb é $10^{-6}\ \mathrm{C}$, então substitua $2.0 \times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ para cada carga:

$$F = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})^2}{(0.30)^2} = \frac{0.03596}{0.090} \approx 0.40\ \mathrm{N}$$

As duas cargas são positivas, então a força é repulsiva. Cada esfera é empurrada diretamente para longe da outra com cerca de 0,40 N, aproximadamente o peso de uma massa de 40 gramas.

Afaste-as para $0.60\ \mathrm{m}$. A distância dobrou, então a força cai para um quarto, $0.10\ \mathrm{N}$, sem novo cálculo.

Exemplo resolvido: qual é a intensidade da força elétrica?

Considere o elétron e o próton no hidrogênio, separados por um raio de Bohr: $r = 5.29 \times 10^{-11}\ \mathrm{m}$, distância típica no estado fundamental do átomo. Cada um tem carga de magnitude $e$:

$$F_e = \frac{(8.99 \times 10^{9})(1.602 \times 10^{-19})^2}{(5.29 \times 10^{-11})^2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\ \mathrm{N}$$

Para a gravidade entre as mesmas partículas, use $G = 6.674 \times 10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$, $m_e = 9.109 \times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$ e $m_p = 1.673 \times 10^{-27}\ \mathrm{kg}$:

$$F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2} \approx 3.63 \times 10^{-47}\ \mathrm{N}$$

A força elétrica é cerca de $2.27 \times 10^{39}$ vezes maior. Ambas diminuem como $1/r^2$, então a razão vale para qualquer separação.

Por que, então, a gravidade mantém você no chão e a Lua em órbita? Porque a matéria é quase perfeitamente neutra. Prótons têm elétrons correspondentes, então as enormes atrações e repulsões elétricas quase se cancelam. Massa não tem versão negativa, portanto a gravidade não se cancela: cada quilograma de um planeta acrescenta atração.

Defina a direção e depois some

Com várias cargas, cada par interage como se as outras não estivessem presentes. A força resultante é a soma vetorial: o princípio da superposição.

Coloque três cargas sobre uma reta:

• $q_1 = +3.0\ \mu\mathrm{C}$ em $x = 0$.
• $q_2 = -2.0\ \mu\mathrm{C}$ em $x = 0.20\ \mathrm{m}$.
• $q_3 = +1.0\ \mu\mathrm{C}$ em $x = 0.10\ \mathrm{m}$.

Encontre a força resultante sobre $q_3$, a $0.10\ \mathrm{m}$ das outras duas. Defina as direções antes de calcular. $q_1$ e $q_3$ são positivas, então $q_1$ repele $q_3$ na direção $+x$. Como $q_2$ é negativa, ela atrai $q_3$ em sua direção, também $+x$.

Os dois resultados serão somados, então mantenha quatro algarismos e use $k = 8.988 \times 10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$:

$$F_{13} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(3.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 2.696\ \mathrm{N}$$ $$F_{23} = \frac{(8.988 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})(1.0 \times 10^{-6})}{(0.10)^2} = 1.798\ \mathrm{N}$$

Como atuam no mesmo sentido, suas magnitudes se somam:

$$F_{\mathrm{net}} = 2.696 + 1.798 = 4.494\ \mathrm{N} \approx 4.49\ \mathrm{N}$$

A força resultante sobre $q_3$ é cerca de 4,49 N para a direita. A física estabeleceu as direções; a fórmula forneceu apenas as magnitudes.

Da força ao campo

A lei de Coulomb descreve um par de cargas. O campo elétrico descreve o espaço ao redor de uma delas. É a força por unidade de carga sobre uma pequena carga de prova positiva $q$:

$$E = \frac{F}{q}$$

Sua unidade é newton por coulomb, e aponta para onde uma carga positiva seria empurrada. Divida a carga de prova da lei de Coulomb para obter o campo de uma carga pontual $Q$:

$$E = k\frac{|Q|}{r^2}$$

A $0.30\ \mathrm{m}$ de uma carga de $2.0\ \mu\mathrm{C}$:

$$E = \frac{(8.99 \times 10^{9})(2.0 \times 10^{-6})}{(0.30)^2} \approx 2.0 \times 10^{5}\ \mathrm{N/C}$$

O campo existe com ou sem carga de prova naquele ponto. Calcule-o uma vez e $F = qE$ fornece a força em qualquer carga colocada ali: outra carga de $2.0\ \mu\mathrm{C}$ sente os 0,40 N do primeiro exemplo. Uma carga negativa sofre força no sentido oposto ao campo.

As linhas de campo elétrico saem das cargas positivas e terminam nas negativas ou se estendem ao infinito. O campo em um ponto é tangente à linha que passa por ele; onde as linhas ficam mais próximas, o campo é mais intenso. Elas nunca se cruzam, pois o campo tem uma única direção em cada ponto. Ao redor de uma carga isolada, o mesmo número de linhas atravessa cada esfera, então sua densidade cai como $1/r^2$: de novo o inverso do quadrado.

O próximo passo é o potencial elétrico, energia por unidade de carga, medido em volts. A tensão do nosso guia de circuitos em série e paralelo é uma diferença de potencial.

Coulomb e Newton lado a lado

Estas são as duas leis:

$$F = k\frac{|q_1 q_2|}{r^2} \qquad F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$$

Ambas são proporcionais ao produto de duas grandezas fonte e diminuem com o inverso do quadrado. A diferença está no sinal: carga tem dois tipos e massa apenas um, então forças elétricas podem atrair ou repelir, enquanto a gravidade só atrai. As intensidades diferem pelo fator aproximado de $10^{39}$ encontrado antes.

As leis de Newton transformam uma força de Coulomb em aceleração como qualquer outra força, e a terceira lei vale: no exemplo das três cargas, $q_3$ também empurra $q_1$ com 2,696 N, embora $q_1$ tenha o triplo da carga. Nosso guia de movimento circular mostra a gravidade fornecendo a força para dentro em uma órbita; no modelo de Bohr do hidrogênio, a atração de Coulomb faz isso pelo elétron.

Erros que custam pontos

• Esquecer de elevar a distância ao quadrado. Dividir por 0,30 em vez de 0,090 no primeiro exemplo dá 0,12 N, não 0,40 N.
• Não converter unidades. Micro significa $10^{-6}$, nano significa $10^{-9}$ e 30 cm são 0,30 m. Deixar ambas as cargas em microcoulombs produz uma força $10^{12}$ vezes grande demais.
• Interpretar um sinal como direção. Incluindo os sinais, o produto de $q_2$ e $q_3$ é negativo e pode parecer significar “esquerda”. Na verdade, indica atração, e atrair em direção a $q_2$ aponta para a direita. Interpretar como esquerda dá cerca de 0,90 N em vez de 4,49 N.
• Somar magnitudes que apontam em sentidos diferentes. Só se somam diretamente se as forças apontam no mesmo sentido. Em uma reta, forças opostas se subtraem; em ângulo, é preciso decompô-las.
• Confundir E com F. Um campo em N/C pertence a um ponto no espaço; uma força em newtons atua sobre uma carga específica.

Os dois primeiros são erros de matemática. Nosso guia sobre erros de física que na verdade são erros de matemática aborda prefixos e potências de dez.

Coloque a lei em prática

O tema Eletrostática no Physics Zen tem três habilidades: Carga e lei de Coulomb, Campo elétrico e Potencial elétrico. As duas primeiras habilidades são gratuitas no iPhone e Android; apenas a última, Potencial elétrico, exige Premium. Eletrostática também aparece nas trilhas A-Level, Abitur e Bac; nossos guias de física A-Level, Abitur e Bac mostram onde ela se encaixa.

Determine a direção de cada força antes de calcular. Depois confira a distância: ela é elevada ao quadrado, precisa estar em metros e nenhuma outra variável da lei de Coulomb altera tanto o resultado.